$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 7& 8& 9\\ 15& 16& 17\end{array}\right]=?$

ব্যাখ্যাঃ

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সটি হলো:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \\ 15 & 16 & 17 \end{pmatrix} \]

একটি 3x3 ম্যাট্রিক্স \( \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \) এর নির্ণায়ক (Determinant) বের করার সূত্র হলো:

\[ \det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) \]

এই সূত্র ব্যবহার করে প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক বের করি:

\( \det(A) = 1(8 \times 17 - 9 \times 16) - 2(7 \times 17 - 9 \times 15) + 3(7 \times 16 - 8 \times 15) \)

প্রথমে বন্ধনীর ভেতরের গুণগুলো সম্পন্ন করি:

\( 8 \times 17 = 136 \)

\( 9 \times 16 = 144 \)

\( 7 \times 17 = 119 \)

\( 9 \times 15 = 135 \)

\( 7 \times 16 = 112 \)

\( 8 \times 15 = 120 \)

এখন এই মানগুলো সূত্রে বসিয়ে বিয়োগ করি:

\( \det(A) = 1(136 - 144) - 2(119 - 135) + 3(112 - 120) \)

\( \det(A) = 1(-8) - 2(-16) + 3(-8) \)

এবার গুণ ও যোগ/বিয়োগ সম্পন্ন করি:

\( \det(A) = -8 + 32 - 24 \)

\( \det(A) = 24 - 24 \)

\( \det(A) = 0 \)

অতএব, নির্ণায়কটির মান 0।

💡 শর্টকাট টেকনিক:

আমরা ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক বের করার জন্য কলাম অপারেশন (column operations) ব্যবহার করতে পারি। একটি নির্ণায়কের ধর্ম হলো, যদি কোনো ম্যাট্রিক্সের দুটি কলাম (বা সারি) অভিন্ন (identical) হয়, তবে তার নির্ণায়কের মান শূন্য হয়।

প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স:

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \\ 15 & 16 & 17 \end{pmatrix} \]

প্রথমে দ্বিতীয় কলাম \( (C_2) \) থেকে প্রথম কলাম \( (C_1) \) বিয়োগ করি এবং এই ফলাফলকে নতুন দ্বিতীয় কলাম হিসেবে ব্যবহার করি \( (C_2 \to C_2 - C_1) \):

\( C_2 - C_1 = \begin{pmatrix} 2-1 \\ 8-7 \\ 16-15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \)

ম্যাট্রিক্সটি এখন হবে:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 7 & 1 & 9 \\ 15 & 1 & 17 \end{pmatrix} \]

এরপর তৃতীয় কলাম \( (C_3) \) থেকে দ্বিতীয় কলাম \( (C_2) \) বিয়োগ করি এবং এই ফলাফলকে নতুন তৃতীয় কলাম হিসেবে ব্যবহার করি \( (C_3 \to C_3 - C_2) \)। যেহেতু \( C_2 \) এখন পূর্বের \( C_2 - C_1 \) এর ফল:

তৃতীয় কলামের আসল উপাদানগুলো ছিল \( \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \\ 17 \end{pmatrix} \) এবং দ্বিতীয় কলামের আসল উপাদানগুলো ছিল \( \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ 16 \end{pmatrix} \)।

যদি আমরা \( C_3 \to C_3 - C_2 \) অপারেশনটি মূল ম্যাট্রিক্সের উপর করি (যখন \( C_2 \) এবং \( C_3 \) এখনও মূল মান ধারণ করে):

\( C_3 - C_2 = \begin{pmatrix} 3-2 \\ 9-8 \\ 17-16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \)

এই দুটি অপারেশন \( (C_2 \to C_2 - C_1 \text{ এবং } C_3 \to C_3 - C_2) \) নির্ণায়কের মান পরিবর্তন করে না। তাহলে নতুন ম্যাট্রিক্সটি হবে:

\[ \begin{pmatrix} 1 & (2-1) & (3-2) \\ 7 & (8-7) & (9-8) \\ 15 & (16-15) & (17-16) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 7 & 1 & 1 \\ 15 & 1 & 1 \end{pmatrix} \]

এই নতুন ম্যাট্রিক্সটিতে, দ্বিতীয় কলাম \( (C_2) \) এবং তৃতীয় কলাম \( (C_3) \) অভিন্ন (identical)। নির্ণায়কের একটি ধর্ম অনুযায়ী, যদি একটি ম্যাট্রিক্সের দুটি কলাম বা সারি অভিন্ন হয়, তাহলে তার নির্ণায়কের মান শূন্য হয়।

সুতরাং, নির্ণায়কটির মান 0।