4 জন মহিলাসহ 10 ব্যক্তির মধ্য থেকে 5 জনের একটি কমিটি গঠন করতে হবে যাতে অন্তত একজন মহিলা অন্তর্ভুক্ত থাকবে। কত বিভিন্ন প্রকারে এ কমিটি গঠন করা যেতে পারে?

এখানে মোট ব্যক্তি সংখ্যা ১০ জন, যার মধ্যে ৪ জন মহিলা এবং \((১০ - ৪) = ৬\) জন পুরুষ।

আমাদের ৫ সদস্যের একটি কমিটি গঠন করতে হবে যেখানে অন্তত একজন মহিলা অন্তর্ভুক্ত থাকবে।

অন্তত একজন মহিলা অন্তর্ভুক্ত থাকার অর্থ হলো কমিটিতে ১ জন মহিলা, অথবা ২ জন মহিলা, অথবা ৩ জন মহিলা, অথবা ৪ জন মহিলা থাকতে পারে। যেহেতু মোট মহিলা ৪ জন, তাই ৪ জনের বেশি মহিলা থাকতে পারবে না।

আমরা প্রতিটি ক্ষেত্র আলাদাভাবে গণনা করব:

১. যখন ১ জন মহিলা এবং ৪ জন পুরুষ থাকবে:

    
• ৪ জন মহিলা থেকে ১ জন মহিলা নির্বাচনের উপায়: \(\binom{4}{1} = 4\)
    
• ৬ জন পুরুষ থেকে ৪ জন পুরুষ নির্বাচনের উপায়: \(\binom{6}{4} = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15\)
    
• মোট উপায়: \(4 \times 15 = 60\)

২. যখন ২ জন মহিলা এবং ৩ জন পুরুষ থাকবে:

    
• ৪ জন মহিলা থেকে ২ জন মহিলা নির্বাচনের উপায়: \(\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6\)
    
• ৬ জন পুরুষ থেকে ৩ জন পুরুষ নির্বাচনের উপায়: \(\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20\)
    
• মোট উপায়: \(6 \times 20 = 120\)

৩. যখন ৩ জন মহিলা এবং ২ জন পুরুষ থাকবে:

    
• ৪ জন মহিলা থেকে ৩ জন মহিলা নির্বাচনের উপায়: \(\binom{4}{3} = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4\)
    
• ৬ জন পুরুষ থেকে ২ জন পুরুষ নির্বাচনের উপায়: \(\binom{6}{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15\)
    
• মোট উপায়: \(4 \times 15 = 60\)

৪. যখন ৪ জন মহিলা এবং ১ জন পুরুষ থাকবে:

    
• ৪ জন মহিলা থেকে ৪ জন মহিলা নির্বাচনের উপায়: \(\binom{4}{4} = 1\)
    
• ৬ জন পুরুষ থেকে ১ জন পুরুষ নির্বাচনের উপায়: \(\binom{6}{1} = 6\)
    
• মোট উপায়: \(1 \times 6 = 6\)

অন্তত একজন মহিলাসহ কমিটি গঠনের মোট উপায় = \(60 + 120 + 60 + 6 = 246\)

এই ধরণের সমস্যা সমাধানের জন্য একটি সহজ উপায় হলো, মোট সম্ভাব্য কমিটি গঠন পদ্ধতি থেকে কোনো মহিলা না রেখে কমিটি গঠন পদ্ধতি বাদ দেওয়া।

১. ১০ জন ব্যক্তি থেকে ৫ সদস্যের কমিটি গঠনের মোট উপায়:

\[ \binom{10}{5} = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2 \times 9 \times 2 \times 7 = 252 \]

২. কোনো মহিলা ছাড়া (অর্থাৎ শুধুমাত্র ৬ জন পুরুষ থেকে ৫ জন) ৫ সদস্যের কমিটি গঠনের উপায়:

\[ \binom{6}{5} = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6}{1} = 6 \]

৩. অন্তত একজন মহিলাসহ কমিটি গঠনের উপায় = (মোট কমিটি গঠনের উপায়) - (কোনো মহিলা ছাড়া কমিটি গঠনের উপায়)

\[ 252 - 6 = 246 \]

সুতরাং, কমিটি গঠনের মোট উপায় হলো ২৪৬।