$9x^2+4y^2$ এর মান কত?

বিস্তারিত সমাধান:

দেওয়া আছে:

\(3x + 2y = 8\)  (i)

\(3x - 2y = 4\)  (ii)

আমরা জানি, \((a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2 + b^2)\)

বা, \(a^2 + b^2 = \frac{(a+b)^2 + (a-b)^2}{2}\)

এখানে, আমরা \(a = 3x\) এবং \(b = 2y\) ধরতে পারি।

তাহলে, \(a+b = 3x+2y = 8\)

এবং \(a-b = 3x-2y = 4\)

আমাদের বের করতে হবে \(9x^2 + 4y^2\) এর মান।

লক্ষ্য করি, \(9x^2 + 4y^2 = (3x)^2 + (2y)^2\)।

সুতরাং, আমরা \(a^2 + b^2\) এর সূত্র ব্যবহার করতে পারি:

\((3x)^2 + (2y)^2 = \frac{(3x+2y)^2 + (3x-2y)^2}{2}\)

\(= \frac{(8)^2 + (4)^2}{2}\)

\(= \frac{64 + 16}{2}\)

\(= \frac{80}{2}\)

\(= 40\)

সুতরাং, \(9x^2 + 4y^2\) এর মান 40।

বিকল্প পদ্ধতি:

প্রদত্ত সমীকরণগুলো সমাধান করে \(x\) এবং \(y\) এর মান বের করা যায়:

\(3x + 2y = 8\)  (i)

\(3x - 2y = 4\)  (ii)

সমীকরণ (i) এবং (ii) যোগ করে পাই:

\((3x + 2y) + (3x - 2y) = 8 + 4\)

\(6x = 12\)

\(x = \frac{12}{6}\)

\(x = 2\)

\(x\) এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই:

\(3(2) + 2y = 8\)

\(6 + 2y = 8\)

\(2y = 8 - 6\)

\(2y = 2\)

\(y = \frac{2}{2}\)

\(y = 1\)

এখন, \(9x^2 + 4y^2\) এর মান নির্ণয় করি:

\(9x^2 + 4y^2 = 9(2)^2 + 4(1)^2\)

\(= 9(4) + 4(1)\)

\(= 36 + 4\)

\(= 40\)