$a-\frac{1}{a}$ এর মান কোনটি?

দেওয়া আছে:

\[a^2 - 5a + 1 = 0\]

উভয় পক্ষকে \(a\) দ্বারা ভাগ করে পাই:

\[\frac{a^2}{a} - \frac{5a}{a} + \frac{1}{a} = \frac{0}{a}\]

\[a - 5 + \frac{1}{a} = 0\]

\[a + \frac{1}{a} = 5\]

এখন, আমরা \((a - \frac{1}{a})^2\) এর মান নির্ণয় করব। আমরা জানি, \((x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy\)। এখানে \(x=a\) এবং \(y=\frac{1}{a}\) ধরলে পাই:

\[\left(a - \frac{1}{a}\right)^2 = \left(a + \frac{1}{a}\right)^2 - 4 \cdot a \cdot \frac{1}{a}\]

\[\left(a - \frac{1}{a}\right)^2 = \left(a + \frac{1}{a}\right)^2 - 4\]

আমরা \(a + \frac{1}{a} = 5\) পেয়েছি। এই মানটি বসিয়ে পাই:

\[\left(a - \frac{1}{a}\right)^2 = (5)^2 - 4\]

\[\left(a - \frac{1}{a}\right)^2 = 25 - 4\]

\[\left(a - \frac{1}{a}\right)^2 = 21\]

এখন, উভয় পক্ষে বর্গমূল করে পাই:

\[a - \frac{1}{a} = \sqrt{21}\]