A = 2111 হলে, A-1=?

$A = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})$ হলে, $A^{- 1} = ?$

Created: 4 months ago | Updated: 4 months ago

Updated: 4 months ago

ক

$(\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix})$
খ

$(\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix})$
গ

$(\begin{matrix} - 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{matrix})$
ঘ

কোনটিই নয়

ব্যাখ্যাঃ

কোনো $2 \times 2$ ম্যাট্রিক্স $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স $A^{-1}$ নির্ণয়ের সূত্র হলো:

\[A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \text{adj}(A)\]

যেখানে,
det(A) = $ad - bc$ (ম্যাট্রিক্স A এর নির্ণায়ক)
adj(A) = $\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ (ম্যাট্রিক্স A এর অ্যাডজয়েন্ট)

প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স, $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ কে $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ এর সাথে তুলনা করে পাই:

$a = 2$
$b = 1$
$c = 1$
$d = 1$

এখন, আমরা প্রথমে নির্ণায়ক (determinant) নির্ণয় করব:

det(A) = $ad - bc = (2)(1) - (1)(1) = 2 - 1 = 1$

যেহেতু det(A) $\neq 0$, তাই A এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স বিদ্যমান।

এবার, অ্যাডজয়েন্ট (adjoint) নির্ণয় করব:

adj(A) = $\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

সবশেষে, বিপরীত ম্যাট্রিক্স $A^{-1}$ নির্ণয় করব:

\[A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \text{adj}(A)\]

\[A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\]

\[A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\]

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$।

Satt AI

1 month ago

MCQ: 1

Practice

বর্গম্যট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স

বিপরীত ম্যাট্রিক্সের শর্ত

১. নির্ণায়ক শূন্য না হওয়া:
একটি বর্গম্যট্রিক্সের বিপরীত থাকতে হলে এর নির্ণায়ক শূন্য হওয়া যাবে না। অর্থাৎ, যদি $|A| = 0$ $∣$ $A$ $∣$ $=$ $0$ হয়, তাহলে $A$ $A$ -এর কোনো বিপরীত ম্যাট্রিক্স থাকবে না, এবং তাকে সিংগুলার (Singular) ম্যাট্রিক্স বলা হয়।

২. বিপরীত ম্যাট্রিক্সের বৈশিষ্ট্য:
$(A^{-1})^{-1} = A$ $($ $A$ $-1$ $)$ $-1$ $=$ $A$ এবং $(A \times B)^{-1} = B^{-1} \times A^{-1}$ $($ $A$ $\times$ $B$ $)$ $-1$ $=$ $B$ $-1$ $\times$ $A$ $-1$ ।

বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয়ের পদ্ধতি

১. সহগুণক এবং অনুরাশি ব্যবহার করে বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় (Cofactor and Adjoint Method)

একটি $n \times n$ $n$ $\times$ $n$ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত নির্ণয়ের জন্য নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করতে হয়:

সহগুণক ম্যাট্রিক্স বের করা (Cofactor Matrix):
প্রতিটি উপাদানের সহগুণক বের করে সহগুণক ম্যাট্রিক্স তৈরি করতে হয়।
অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স নির্ণয় (Adjugate Matrix):
সহগুণক ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ নিলে অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায়।
বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয়:
নির্ণায়ক শূন্য নয় এমন ম্যাট্রিক্সের জন্য বিপরীত ম্যাট্রিক্স $A^{-1}$ $A$ $-1$ বের করা যায়:
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \times \text{adj}(A)$ $A$ $-1$ $=$ $∣$ $A$ $∣1$ $$ $\times$ $adj$ $($ $A$ $)$
এখানে $|A|$ $∣$ $A$ $∣$ হলো $A$ $A$ -এর নির্ণায়ক এবং $\text{adj}(A)$ $adj$ $($ $A$ $)$ হলো অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স।

উদাহরণ:

ধরা যাক,

A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}

$A$ $=$ $($ $42$ $$ $76$ $$ $)$

ধাপ ১: নির্ণায়ক নির্ণয়

|A| = (4 \times 6) - (7 \times 2) = 24 - 14 = 10

$∣$ $A$ $∣$ $=$ $($ $4$ $\times$ $6$ $)$ $-$ $($ $7$ $\times$ $2$ $)$ $=$ $24$ $-$ $14$ $=$ $10$

ধাপ ২: সহগুণক ম্যাট্রিক্স বের করা

প্রতিটি উপাদানের জন্য অনুরাশি বের করে এবং সহগুণক চিহ্ন প্রয়োগ করে, আমরা পাই:

\text{Cofactor Matrix} = \begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}

$Cofactor Matrix$ $=$ $($ $6-2$ $$ $-74$ $$ $)$

ধাপ ৩: অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স নির্ণয়

সহগুণক ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ নিলে পাই:

\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ -7 & 4 \end{pmatrix}

$adj$ $($ $A$ $)$ $=$ $($ $6-7$ $$ $-24$ $$ $)$

ধাপ ৪: বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয়

A^{-1} = \frac{1}{|A|} \times \text{adj}(A) = \frac{1}{10} \times \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ -7 & 4 \end{pmatrix}

$A$ $-1$ $=$ $∣$ $A$ $∣1$ $$ $\times$ $adj$ $($ $A$ $)$ $=$ $101$ $$ $\times$ $($ $6-7$ $$ $-24$ $$ $)$ $= \begin{pmatrix} 0.6 & -0.2 \\ -0.7 & 0.4 \end{pmatrix}$ $=$ $($ $0.6-0.7$ $$ $-0.20.4$ $$ $)$

Notification