A merchant mixes three varieties of rice costing Rs. 20/kg, Rs. 24/kg and Rs. 30/kg and sells the mixture at a profit of 20% at Rs. 30/kg. How many kgs of the second variety will be in the mixture if 2 kgs of the third variety is there in the mixture?

বিস্তারিত সমাধান:

প্রথমে, মিশ্রণের ক্রয়মূল্য (Cost Price - CP) নির্ণয় করতে হবে।

বিক্রয়মূল্য (Selling Price - SP) = 30 টাকা/কেজি

লাভ = 20%

আমরা জানি, \(SP = CP + \text{লাভ}\)

\(SP = CP + (CP \times \frac{20}{100})\)

\(SP = CP (1 + 0.20)\)

\(SP = 1.20 \times CP\)

সুতরাং, \(30 = 1.20 \times CP\)

\(CP = \frac{30}{1.20}\)

\(CP = \frac{300}{12}\)

\(CP = 25\) টাকা/কেজি

অর্থাৎ, মিশ্রণের প্রতি কেজির গড় ক্রয়মূল্য 25 টাকা।

এখন, অ্যাললিগেশন সূত্র (Alligation Rule) বা গড় ক্রয়মূল্যের নীতি ব্যবহার করে আমরা উপাদানগুলির অনুপাত নির্ণয় করব। যখন একাধিক উপাদান মিশ্রিত করা হয়, তখন মিশ্রণের গড় মূল্য থেকে প্রতিটি উপাদানের মূল্যের বিচ্যুতি (deviation) এর যোগফল শূন্য হয়।

ধরি, তিন প্রকার চালের পরিমাণ যথাক্রমে \(q_1\), \(q_2\) এবং \(q_3\) কেজি।

তাদের ক্রয়মূল্য যথাক্রমে 20 টাকা/কেজি, 24 টাকা/কেজি এবং 30 টাকা/কেজি।

মিশ্রণের গড় ক্রয়মূল্য 25 টাকা/কেজি।

প্রতিটি প্রকারের চালের মূল্যের সাথে গড় মূল্যের পার্থক্য:

    
• প্রথম প্রকারের চালের জন্য: \(20 - 25 = -5\)
    
• দ্বিতীয় প্রকারের চালের জন্য: \(24 - 25 = -1\)
    
• তৃতীয় প্রকারের চালের জন্য: \(30 - 25 = +5\)

নীতি অনুযায়ী, পরিমাণের সাথে পার্থক্যের গুণফলের যোগফল শূন্য হবে:

\(q_1 \times (-5) + q_2 \times (-1) + q_3 \times (+5) = 0\)

\(-5q_1 - q_2 + 5q_3 = 0\)

বা, \(5q_1 + q_2 = 5q_3\)

প্রশ্নে দেওয়া আছে, তৃতীয় প্রকারের চালের পরিমাণ \(q_3 = 2\) কেজি।

এই মান সমীকরণে বসিয়ে পাই:

\(5q_1 + q_2 = 5 \times 2\)

\(5q_1 + q_2 = 10\)

এই সমীকরণে দুটি অজানা রাশি (\(q_1\) এবং \(q_2\)) আছে, তাই একটি অনন্য সমাধান পেতে আরও তথ্যের প্রয়োজন। তবে, বহুনির্বাচনী প্রশ্নে (MCQ) সাধারণত এমন উত্তর চাওয়া হয় যা বিকল্পগুলির মধ্যে থেকে একটি পূর্ণসংখ্যা বা সরল অনুপাতের সমাধান দেয়। আমরা বিকল্পগুলি পরীক্ষা করে দেখব কোনটি \(q_1\) এর জন্য একটি গ্রহণযোগ্য (সাধারণত ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা) মান দেয়।

বিকল্প 1: যদি \(q_2 = 1\) কেজি হয়

\(5q_1 + 1 = 10\)

\(5q_1 = 9\)

\(q_1 = \frac{9}{5} = 1.8\) কেজি (পূর্ণসংখ্যা নয়)

বিকল্প 2: যদি \(q_2 = 5\) কেজি হয়

\(5q_1 + 5 = 10\)

\(5q_1 = 5\)

\(q_1 = 1\) কেজি (পূর্ণসংখ্যা)

বিকল্প 3: যদি \(q_2 = 3\) কেজি হয়

\(5q_1 + 3 = 10\)

\(5q_1 = 7\)

\(q_1 = \frac{7}{5} = 1.4\) কেজি (পূর্ণসংখ্যা নয়)

বিকল্প 4: যদি \(q_2 = 6\) কেজি হয়

\(5q_1 + 6 = 10\)

\(5q_1 = 4\)

\(q_1 = \frac{4}{5} = 0.8\) কেজি (পূর্ণসংখ্যা নয়)

দেখা যাচ্ছে যে, \(q_2 = 5\) কেজি ধরলে \(q_1 = 1\) কেজি পাওয়া যায়, যা একটি পূর্ণসংখ্যা। সাধারণত, এই ধরনের গাণিতিক সমস্যায়, যখন বিকল্পগুলো পূর্ণসংখ্যায় দেওয়া থাকে, তখন উত্তর হিসেবে পূর্ণসংখ্যার পরিমাণকে অগ্রাধিকার দেওয়া হয়। তাই, দ্বিতীয় প্রকার চালের পরিমাণ 5 কেজি হবে।