$\cos \theta = \frac{1}{2}$ হলে $\tan \theta$ এর মান কত?

প্রদত্ত:

\( \cos \theta = \frac{1}{2} \)

বিস্তারিত সমাধান:

আমরা জানি, ত্রিকোণমিতিক অনুপাত অনুযায়ী, \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \)।

সুতরাং, \( \theta = 60^\circ \)।

এখন, আমাদের \( \tan \theta \) এর মান নির্ণয় করতে হবে।

\( \tan \theta = \tan 60^\circ \)

আমরা জানি, \( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \)।

অতএব, \( \tan \theta = \sqrt{3} \)।

বিকল্প পদ্ধতি (ত্রিকোণমিতিক অভেদ ব্যবহার করে):

আমরা জানি, ত্রিকোণমিতিক অভেদ অনুযায়ী:

\( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \)

প্রদত্ত মান \( \cos \theta = \frac{1}{2} \) বসিয়ে পাই:

\( \sin^2 \theta + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 \)

\( \sin^2 \theta + \frac{1}{4} = 1 \)

\( \sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{4} \)

\( \sin^2 \theta = \frac{4-1}{4} \)

\( \sin^2 \theta = \frac{3}{4} \)

\( \sin \theta = \sqrt{\frac{3}{4}} \)

\( \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \) (যেহেতু \( \cos \theta \) ধনাত্মক, সাধারণত \( \theta \) কে প্রথম চতুর্ভাগে ধরা হয় যেখানে \( \sin \theta \) ও ধনাত্মক)।

এখন, \( \tan \theta \) এর মান নির্ণয়ের জন্য আমরা সূত্র ব্যবহার করব:

\( \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \)

মানগুলো বসিয়ে পাই:

\( \tan \theta = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} \)

\( \tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{2}{1} \)

\( \tan \theta = \sqrt{3} \)