cos3x এর n-তম অন্তরক সহগ কোনটি?

আমরা জানি, \(f(x) = \cos(ax + b)\) ফাংশনের n-তম অন্তরক সহগ (n-th derivative) হলো:

\[ \frac{d^n}{dx^n} (\cos(ax+b)) = a^n \cos\left(\frac{n\pi}{2} + ax + b\right) \]

প্রদত্ত ফাংশনটি হলো \(f(x) = \cos(3x)\)।

এখানে \(a=3\) এবং \(b=0\)।

অতএব, \(\cos(3x)\) এর n-তম অন্তরক সহগ হবে:

\[ \frac{d^n}{dx^n} (\cos(3x)) = 3^n \cos\left(\frac{n\pi}{2} + 3x + 0\right) \]

\[ = 3^n \cos\left(\frac{n\pi}{2} + 3x\right) \]

এই ফলাফলটি আমরা প্রথম কয়েকটি অন্তরক সহগ বের করেও দেখতে পারি:

    
• প্রথম অন্তরক সহগ: \(\frac{d}{dx}(\cos(3x)) = -3\sin(3x) = 3\cos\left(\frac{\pi}{2} + 3x\right)\) (কারণ \(\cos(\frac{\pi}{2} + \theta) = -\sin\theta\))
    
• দ্বিতীয় অন্তরক সহগ: \(\frac{d^2}{dx^2}(\cos(3x)) = \frac{d}{dx}(-3\sin(3x)) = -3(3\cos(3x)) = -3^2\cos(3x) = 3^2\cos\left(\pi + 3x\right)\) (কারণ \(\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta\))
    
• তৃতীয় অন্তরক সহগ: \(\frac{d^3}{dx^3}(\cos(3x)) = \frac{d}{dx}(-3^2\cos(3x)) = -3^2(-3\sin(3x)) = 3^3\sin(3x) = 3^3\cos\left(\frac{3\pi}{2} + 3x\right)\) (কারণ \(\cos(\frac{3\pi}{2} + \theta) = \sin\theta\))
    
• চতুর্থ অন্তরক সহগ: \(\frac{d^4}{dx^4}(\cos(3x)) = \frac{d}{dx}(3^3\sin(3x)) = 3^3(3\cos(3x)) = 3^4\cos(3x) = 3^4\cos\left(\frac{4\pi}{2} + 3x\right)\) (কারণ \(\cos(2\pi + \theta) = \cos\theta\))

এই প্যাটার্ন থেকে দেখা যাচ্ছে যে, n-তম অন্তরক সহগটি \(3^n \cos\left(\frac{n\pi}{2} + 3x\right)\) আকারের হবে।

সুতরাং, বিকল্প 1 সঠিক উত্তর।

অন্যান্য বিকল্পগুলি ভুল কারণ:

    
• বিকল্প 2 (\(\msup{\text{3}}^\text{n} \text{sin}\left(\frac{\text{n}\pi}{\text{2}}-\text{3x}\right)\)): এতে \(\cos\) এর পরিবর্তে \(\sin\) আছে এবং কোণের চিহ্নও ভুল।
    
• বিকল্প 3 (\(\msup{\text{3}}^\text{n} \text{cos}\left(\frac{\text{n}\pi}{\text{2}}-\text{3x}\right)\)): এতে কোণের \(-3x\) অংশটি ভুল।
    
• বিকল্প 4 (\(\msup{\text{3}}^\text{n} \text{sin} \text{3x}\)): এটি n-তম অন্তরক সহগের সাধারণ রূপ নয়।