${}^{n}C_r$ এর সম্পূরক সমাবেশ-

সম্পূরক সমাবেশ (Complementary Combination) হলো এমন একটি ধারণা, যা একটি সেট থেকে নির্বাচিত সমাবেশের পরিপূরক সমাবেশ (complement) নির্ণয় করে। এটি কম্বিনেটরিক্সে ব্যবহৃত হয় তখন, যখন আমাদের জানতে হয় যে নির্দিষ্ট সংখ্যক বস্তু নির্বাচন না করে কতভাবে সমাবেশ করা যায়।

ধরা যাক, একটি সেটে \( n \)টি ভিন্ন ভিন্ন বস্তু রয়েছে, এবং আমরা এই সেট থেকে \( r \)টি বস্তু নিয়ে একটি সমাবেশ গঠন করতে চাই। তখন এই নির্বাচনের পরিপূরক হবে \( (n - r) \) সংখ্যক বস্তু নিয়ে সমাবেশ গঠন।

সম্পূরক সমাবেশের ধারণা

যদি \( C(n, r) \) দ্বারা \( n \)টি বস্তুর মধ্যে থেকে \( r \)টি বস্তু নিয়ে গঠিত সমাবেশের সংখ্যা বোঝায়, তাহলে \( C(n, n - r) \) হবে সম্পূরক সমাবেশ, অর্থাৎ অবশিষ্ট \( (n - r) \) বস্তু নিয়ে সমাবেশ গঠনের সংখ্যা।

সূত্র:

\[
C(n, r) = C(n, n - r)
\]

এটি সম্পূরক সমাবেশের একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য, যেটি বলে যে \( n \) বস্তু থেকে \( r \)টি বস্তু নির্বাচন করার সমাবেশের সংখ্যা এবং \( (n - r) \)টি বস্তু নির্বাচন করার সমাবেশের সংখ্যা সমান।

উদাহরণ:

ধরা যাক, আমাদের কাছে \( 5 \)টি বস্তু আছে \((A, B, C, D, E)\), এবং আমরা \( 2 \)টি বস্তু নির্বাচন করতে চাই।

• \( C(5, 2) \) হলো ৫টি বস্তু থেকে ২টি বস্তু নিয়ে সমাবেশের সংখ্যা, যা হবে:

\[
C(5, 2) = \frac{5!}{2! \times (5 - 2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10
\]

এই সমাবেশগুলির জন্য ১০টি উপায় আছে। এখানে আমরা \( 2 \)টি বস্তুর সমাবেশ নির্বাচন করেছি।

• এর সম্পূরক সমাবেশ হবে \( C(5, 3) \), অর্থাৎ অবশিষ্ট \( 3 \)টি বস্তু নির্বাচন করা।

\[
C(5, 3) = \frac{5!}{3! \times (5 - 3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10
\]

এখানেও ১০টি উপায় পাওয়া যায়। তাই, আমরা দেখতে পাচ্ছি যে \( C(5, 2) = C(5, 3) \)।

সম্পূরক সমাবেশের প্রয়োগ:

১. বিকল্প সমাবেশ নির্ণয়ে: যখন নির্দিষ্ট সংখ্যক উপাদান না নিয়ে অবশিষ্ট উপাদান দিয়ে সমাবেশ গঠন করতে হয়।
২. সম্ভাবনায়: একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক ঘটনা না ঘটার ক্ষেত্রে সম্ভাব্য সমাবেশ সংখ্যা নির্ণয়ে।
৩. পরিসংখ্যানে: বিভিন্ন বিকল্প বা পরিপূরক সমষ্টি নিয়ে কাজ করার সময়।

সম্পূরক সমাবেশের মাধ্যমে একটি সেটের ভিন্ন উপায়ে গঠিত সমাবেশের সংখ্যা নির্ণয় করা সহজ হয়, যা কম্বিনেটরিক্সের অনেক সমস্যার সমাধানে সহায়ক।