For what values of ‘k’ will the pair of equations 3x + 4y = 12 and kx + 12y = 30 not have a unique solution?

দুই বা ততোধিক চলকবিশিষ্ট এমন একাধিক সরল সমীকরণ, যেগুলো একসাথে সত্য হয়, তাদেরকে সরল-সহসমীকরণ বলা হয়।

মৌলিক ধারণা

সহসমীকরণে একই চলকের মান একাধিক সমীকরণে একই থাকে এবং সেই মান নির্ণয় করাই মূল উদ্দেশ্য।

দুই চলকবিশিষ্ট সরল-সহসমীকরণের সাধারণ রূপ

$ax+by=c$

এবং

$px+qy=r$

সমাধানের পদ্ধতি

• বিয়োজন পদ্ধতি (Elimination Method)
• প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (Substitution Method)
• ক্রস গুণন পদ্ধতি (Cross Multiplication Method)

বিয়োজন পদ্ধতির উদাহরণ

নিচের সহসমীকরণ দুটি সমাধান করি:

$2x+y=7$

এবং

$x-y=2$

দুই সমীকরণ যোগ করলে পাই:

$3x=9$

অতএব,

$x=3$

এখন x = 3 প্রথম সমীকরণে বসালে পাই:

$2\left(3\right)+y=7$

অর্থাৎ,

$6+y=7$

সুতরাং,

$y=1$

অতএব সমাধান

$x=3,y=1$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

• একাধিক সমীকরণ একসাথে সমাধান করা হয়
• চলকের মান সব সমীকরণে একই থাকে
• বিয়োজন ও প্রতিস্থাপন পদ্ধতি বেশি ব্যবহৃত হয়
• গ্রাফের সাহায্যেও সমাধান করা যায়

মনে রাখার উপায়

“একই চলকের মান সব সমীকরণে মিলবে” — এটাই সহসমীকরণের মূল ধারণা।

x + y = 5 একটি সমীকরণ। এখানে, x ও y দুইটি অজানা রাশি বা চলক। এই চলক দুইটি একঘাতবিশিষ্ট। এরূপ সমীকরণ সরল সমীকরণ।

এখানে, যে সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল 5 সেই সংখ্যা দ্বারাই সমীকরণটি সিদ্ধ হবে। যেমন, x = 4, y = 1; বা, x = 3, y = 2; বা, x = 2, y = 3; বা, x = 1, y = 4, ইত্যাদি, এরূপ অসংখ্য সংখ্যাযুগল দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হবে।

আবার, x – y = 3 এই সমীকরণটি বিবেচনা করলে দেখতে পাই, সমীকরণটি x = 4, y=1 বা x = 5, y = 2 _বা_ x = 6, y = 3 বা x = 7, y = 4 বা x = 8, y = 5 বা x = 2, y = -1 বা x = 1, y = -2, x = 0, y = - 3 ... ইত্যাদি অসংখ্য সংখ্যাযুগল দ্বারা সিদ্ধ হয়।

এখানে, x + y = 5 এবং x - y = 3 সমীকরণ দুইটি একত্রে বিবেচনা করলে উভয় সমীকরণ হতে প্রাপ্ত সংখ্যাযুগলের মধ্যে x = 4, y = 1 দ্বারা উভয় সমীকরণ যুগপৎ সিদ্ধ হয়।

চলকের মান দ্বারা একাধিক সমীকরণ সিদ্ধ হলে, সমীকরণসমূহকে একত্রে সহসমীকরণ বলা হয় এবং চলক একঘাত বিশিষ্ট হলে সহসমীকরণকে সরল সহসমীকরণ বলে।

চলকদ্বয়ের যে মান দ্বারা সহসমীকরণ যুগপৎ সিদ্ধ হয়, এদেরকে সহসমীকরণের মূল বা সমাধান বলা হয় । এখানে x + y = 5 এবং x - y = 3 সমীকরণ দুইটি সহসমীকরণ। এদের একমাত্র সমাধান x=4, y=1_ যা (x, y) = ( 4, 1 ) দ্বারা প্রকাশ করা যায়।

দুই চলকবিশিষ্ট দুইটি সরল সমীকরণের সমাধানের পদ্ধতিগুলোর মধ্যে নিচের পদ্ধতি দুইটি আলোচনা
করা হলো :
(১) প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (Method of Substitution)
(২) অপনয়ন পদ্ধতি (Method of Elimination)

(১) প্রতিস্থাপন পদ্ধতি

এই পদ্ধতিতে আমরা নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করে সমাধান করতে পারি :

(ক) যেকোনো সমীকরণ থেকে চলক দুইটির একটির মান অপরটির মাধ্যমে প্রকাশ করা।

(খ) অপর সমীকরণে প্রাপ্ত চলকের মানটি স্থাপন করে এক চলকবিশিষ্ট সমীকরণ সমাধান করা।

(গ) নির্ণীত সমাধান প্রদত্ত সমীকরণ দুইটির যেকোনো একটিতে বসিয়ে অপর চলকের মান নির্ণয় করা।

উদাহরণ ১। সমাধান কর :
x + y =7
x - y = 3

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ 
x + y = 7………………….(1)
x - y = 3…………………(2)

সমীকরণ (2) হতে পক্ষান্তর করে পাই,
x = y + 3...........(3)

সমীকরণ (3) হতে x এর মানটি সমীকরণ (1) -এ বসিয়ে পাই,
y + 3 + y =7 
বা, 2y = 7 - 3
বা, 2y = 4
∴ y = 2
এখন সমীকরণ (3) এ y = 2 বসিয়ে পাই,
x = 2 + 3
∴ x = 5
নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (5, 2)

[শুদ্ধি পরীক্ষা : সমীকরণ দুইটিতে x = 5 ও y = 2 বসালে সমীকরণ (1)-এর বামপক্ষ = 5 + 2 = 7 = ডানপক্ষ এবং সমীকরণ (2)-এর বামপক্ষ = 5 - 2 = 3 = ডানপক্ষ।]

উদাহরণ ২। সমাধান কর :
x + 2y = 9
2x - y = 3
সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ
x + 2y = 9……...……………..(1)
2x - y = 3…………………….(2)

সমীকরণ (2) হতে পাই, y = 2 x – 3……………………(3)

সমীকরণ (I) এ y এর মান বসিয়ে পাই, x + 2 (2x – 3) = 9
বা, x + 4x – 6 = 9
বা, 5 x = 6 +9
বা, 5 x = 15
বা, x = $\frac{15}{5}$
∴ x=3
এখন x এর মান সমীকরণ (3) -এ বসিয়ে পাই,
y = 2 x 3 - 3
= 6 - 3
= 3 
নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (3,3)

উদাহরণ ৩। সমাধান কর :
2y + 5z = 16
y - 2z = -1

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ
2y + 5z = 16……………..(1)
y - 2z = -1………………….(2)

সমীকরণ (2) হতে পাই, y = 2z – 1……………………(3)

সমীকরণ (1) এ y এর মান বসিয়ে পাই,
2(2z-1)+5z = 16
বা, 4z - 2 + 5z = 16
বা, 9z= 16 + 2
বা, z = $\frac{18}{9}$
∴ x=3
এখন z এর মান সমীকরণ (3) -এ বসিয়ে পাই,
y = 2 x 3 - 3
= 6 - 3
∴ y = 3 
নির্ণেয় সমাধান (y, z) = (3, 2)

উদাহরণ ৪। সমাধান কর :
$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1$
$\frac{4}{x}-\frac{9}{y}=-1$

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ
$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1$……………..(1)
$\frac{4}{x}-\frac{9}{y}=-1$………………….(2)

$\frac{1}{x}=u$ এবং $\frac{1}{y}=v$ ধরে (1) ও (2) নং সমীকরণ হতে পাই 
2x + v = 3………….………(3)
4u - 9v = -1………………(4)

(3) নং সমীকরণ হতে পাই
v = 1 - 2u ………………..(5)

(4) নং সমীকরণে v এর মান বসিয়ে পাই, বা,

4u - 9 (1-2u) = -1

বা, 4u - 9 + 18 u = -1

বা, 22u = 9 – 1

∴ $u=\frac{8}{22}=\frac{4}{11}$

বা, $\frac{1}{x}=\frac{4}{11}$

∴ $x=\frac{11}{4}$

এখন, u এর মান (5) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

v = 1 - 2 $\times \frac{4}{11}=\frac{11-8}{11}$

∴ $v=\frac{3}{11}$

বা, $\frac{1}{y}=\frac{3}{11}$

∴ $y=\frac{11}{3}$

∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = $\left(\frac{11}{4}, \frac{11}{3}\right)$

(২) অপনয়ন পদ্ধতি

এই পদ্ধতিতে নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করে সমাধান করা যায় :
(ক) প্রদত্ত উভয় সমীকরণকে এমন দুইটি সংখ্যা বা রাশি দ্বারা পৃথকভাবে গুণ করতে হবে যেন যেকোনো একটি চলকের সহগের সাংখ্যিক মান সমান হয়।
(খ) একটি চলকের সহগ একই চিহ্ন বিশিষ্ট হলে সমীকরণ পরস্পর বিয়োগ, অন্যথায় যোগ করতে হবে।
বিয়োগফলকৃত (বা যোগফলকৃত) সমীকরণটি একটি এক চলকবিশিষ্ট সরল সমীকরণ হবে।
(গ) সরল সমীকরণ সমাধানের নিয়মে চলকটির মান নির্ণয় করা।
(ঘ) প্রাপ্ত চলকের মান প্রদত্ত যেকোনো একটি সমীকরণে বসিয়ে অপর চলকের মান নির্ণয় করা।

উদাহরণ ৫। সমাধান কর :
5x - 4y = 6
x + 2y = 4

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ
5x - 4y = 6.………………….(1)
x+2y= 4.………………….(2)

(3) ও (4) সমীকরণ যোগ করে পাই,
7x = 14
বা, x = $\frac{14}{7}$………………….(4)

∴ x = 2

সমীকরণ (2) এx এর মান বসিয়ে পাই,
2 + 2y = 4
বা, 2y = 4 - 2
বা, y = $\frac{2}{2}$
∴ y = 1

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, 1)

উদাহরণ ৬। সমাধান কর :
x + 4y = 14
7 x - 3y = 5

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ
x + 4y = 14………………..(1)
7x - 3y = 5………………..(2)

সমীকরণ (1) কে 3 দ্বারা এবং সমীকরণ (2) কে 4 দ্বারা গুণ করে পাই,

বা, x = $\frac{62}{31}$

∴ x = 2

এখন x এর মান সমীকরণ (1) -এ বসিয়ে পাই,
2 + 4y=14
বা, 4y = 14 - 2
বা, 4 y = 12 
বা, y = $\frac{12}{4}$
∴ y = 3

∴ (x, y) = (2, 3)

উদাহরণ ৭। সমাধান কর :
5x - 3y = 9
3x - 5y = - 1

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ
5x - 3y = 9………………………(1)
3x - 5y = -1……………………..(2)

সমীকরণ (1) কে 5 দ্বারা এবং সমীকরণ (2) কে 3 দ্বারা গুণ করে পাই

বা, x = $\frac{48}{16}$

∴ x = 3

সমীকরণ (1) এ x এর মান বসিয়ে পাই,
5 × 3 - 3y = 9
বা, 15 - 3y = 9
বা, - 3y = 9 - 15 
বা, - 3y = - 6
বা, y = $\frac{-6}{-3}$
∴ y = 2

∴ (x, y) = (3, 2)

উদাহরন ৮।
$\frac{x}{5}+\frac{3}{y}=3$
$\frac{x}{2}-\frac{6}{y}=2$

সমাধান :
প্রদত্ত সমীকরণ
$\frac{x}{5}+\frac{3}{y}=3$ …………………….(1)
$\frac{x}{2}-\frac{6}{y}=2$ …………………….(2)

(1) সমীকরণকে (2) দ্বারা গুণ করে (2) নং সমীকরণ এর সাথে যোগ করে পাই,
$\frac{2x}{5}+\frac{6}{y}=6$ ………………….(3)
$\frac{x}{2}-\frac{6}{y}=2$ …………………….(4)
$\frac{2x}{5}+\frac{x}{2}=8$
বা, $\frac{4x+5x}{10}=8$
বা, 9x = 8 × 10
বা, x = $\frac{80}{9}$

(1) নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,
$\frac{1}{5}\times \frac{80}{9}+\frac{3}{y}=3$
বা, $\frac{16}{9}+\frac{3}{y}=3$
বা, $\frac{3}{y}=3-\frac{16}{9}$
বা, $\frac{3}{y}=\frac{11}{9}$
বা, $y=\frac{27}{11}$
∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = $\left(\frac{80}{9}, \frac{27}{11}\right)$

আড়গুণন পদ্ধতি (Cross multiplication method) :

আড়গুণন পদ্ধতিকে বজ্রগুণন পদ্ধতিও বলে।

নিচের সমীকরণ দুইটি বিবেচনা করি :

সমীকরণ (1) কে b2 দিয়ে ও সমীকরণ (2) কে $b_1$ দিয়ে গুণ করে পাই,

সমীকরণ (3) থেকে সমীকরণ (4) বিয়োগ করে পাই,

আবার, সমীকরণ (1) কে দিয়ে ও সমীকরণ (2) কে $a_1$ দিয়ে গুণ করে পাই,

সমীকরণ (6) থেকে সমীকরণ (7) বিয়োগ করে পাই,

সমীকরণ (5) ও (8) থেকে পাই,

x ও y এর এরূপ সম্পর্ক থেকে এদের মান নির্ণয়ের কৌশলকে আড়গুণন পদ্ধতি বলে।

x ও y এর উল্লেখিত সম্পর্ক থেকে পাই,

লক্ষ করি :

দ্রষ্টব্য : প্রদত্ত উভয় সমীকরণের ধ্রুবক পদ ডানপক্ষে রেখেও আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করা যায়। তবে সেক্ষেত্রে চিহ্নের কিছু পরিবর্তন হবে। কিন্তু সমাধান একই পাওয়া যাবে।

উদাহরণ ৪. আড়গুণন পদ্ধতিতে সমাধান কর :

6x – y = 1

3x + 2y = 13

সমাধান : পক্ষান্তর প্রক্রিয়ায় প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের ডানপক্ষ 0 (শূন্য) করে পাই,

6x – y – 1 = 0

3x + 2y – 13 = 0

সমীকরণদ্বয়কে যথাক্রমে

এর সাথে তুলনা করে পাই,

আড়গুণন পদ্ধতিতে পাই,

উদাহরণ ৫. আড়গুণন পদ্ধতিতে সমাধান কর :

3x - 4y = 0

2x - 3y = - 1

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়

আড়গুণন পদ্ধতিতে পাই,

উদাহরণ ৬. আড়গুণন পদ্ধতিতে সমাধান কর :

সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়কে ax + by + c = 0 আকারে সাজিয়ে পাই,

$\therefore$ সমীকরণদ্বয়

3x + 2y - 48 = 0

5x - 12y + 12 = 0

আড়গুণন পদ্ধতিতে পাই,

সমাধানের শুদ্ধি পরীক্ষা: প্রাপ্ত x ও y এর মান প্রদত্ত সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$\therefore$ সমাধান শুদ্ধ হয়েছে।

উদাহরণ ৭. আড়গুণন পদ্ধতিতে সমাধান কর : ax - by = ab = bx - ay

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়,

আড়গুণন পদ্ধতিতে পাই,

লৈখিক পদ্ধতি (Graphical Method)

দুই চলকবিশিষ্ট একটি সরল সমীকরণে বিদ্যমান চলক x ও y এর সম্পর্ককে চিত্রের সাহায্যে প্ৰকাশ করা যায়। এই চিত্রকে ঐ সম্পর্কের লেখচিত্র বলে। এ জাতীয় সমীকরণের লেখচিত্রে অসংখ্য বিন্দু থাকে। এরূপ কয়েকটি বিন্দু স্থাপন করে এদের পরস্পর সংযুক্ত করলেই লেখচিত্র পাওয়া যায়।

সরল সহসমীকরণের প্রত্যেকটির অসংখ্য সমাধান রয়েছে। প্রত্যেকটি সমীকরণের লেখ একটি সরলরেখা। সরলরেখাটির প্রত্যেকটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে। কোনো লেখ নির্দিষ্ট করতে তিন বা ততোধিক বিন্দু আবশ্যক। এখন আমরা নিচের সমীকরণজোটটি সমাধান করার চেষ্টা করবো :

2x + y = 3 … (1)

4x + 2y = 6 ... (2)

সমীকরণ (1) থেকে পাই, y=3-2x ।

সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মান নিয়ে y এর অনুরূপ মান বের করি ও নিম্নের ছকটি তৈরি করি :

$\therefore$ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (–1, 5), (0, 3) ও (3, − 3 ) ।

আবার, সমীকরণ (2) থেকে পাই,

সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মান নিয়ে y এর অনুরূপে মান বের করি ও নিম্নের ছকটি তৈরি করি :

$\therefore$ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (−2, 7), (0, 3 ) ও ( 6, 9 )।

মনে করি, ছক কাগজে XOX' ও YOY' যথাক্রমে x-অক্ষ ও Y-অক্ষ এবং O মূলবিন্দু।

ছক কাগজের উভয় অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি। এখন সমীকরণ (1) হতে প্রাপ্ত (–1, 5), (0, 3) ও (3, − 3) বিন্দুগুলো স্থাপন করি ও এদের পরস্পর সংযুক্ত করি। লেখটি একটি সরলরেখা।

আবার, সমীকরণ (2) হতে প্রাপ্ত (−2, 7), (0, 3) ও (6, – 9 ) বিন্দুগুলো স্থাপন করি ও এদের পরস্পর সংযুক্ত করি। এক্ষেত্রেও লেখটি একটি সরলরেখা।

তবে লক্ষ করি, সরলরেখা দুইটি পরস্পরের উপর সমাপতিত হয়ে একটি সরলরেখায় পরিণত হয়েছে। আবার, সমীকরণ (2) এর উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করলে সমীকরণ (1) পাওয়া যায়। এ কারণে সমীকরণদ্বয়ের লেখ পরস্পর সমাপতিত হয়েছে।

সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মান নিয়ে y এর অনুরূপ মান বের করি ও নিম্নের ছকটি তৈরি করি :

$\therefore$ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (–1, – 6), (0, – 4), ( 4, 4)।

আবার, সমীকরণ (2) থেকে পাই,

4x – 2y = 12, বা, 2x – y = 6 [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]

বা, y = 2x – 6

সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মান নিয়ে y এর অনুরূপ মান বের করি ও নিম্নের ছকটি তৈরি করি :

$\therefore$ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (0, – 6), (3,0), (6, 6) ।

মনে করি, ছক কাগজে XOX' ও YOY' যথাক্রমে x-অক্ষ ও y-অক্ষ এবং O মূলবিন্দু। ছক কাগজের উভয় অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের প্রতিবাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে সমীকরণ (1) হতে প্রাপ্ত (–1, – 6), (0, – 4 ) ও ( 4, 4 ) বিন্দুগুলো স্থাপন করি ও এদের পরস্পর সংযুক্ত করি। লেখটি একটি সরলরেখা।

আবার, সমীকরণ (2) হতে প্রাপ্ত (0, – 6), (3,0), (6, 6) বিন্দুগুলো স্থাপন করি ও এদের পরস্পর সংযুক্ত করি। এক্ষেত্রেও লেখটি একটি সরলরেখা।

চিত্রে লক্ষ করি, প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের পৃথকভাবে প্রত্যেকটির অসংখ্য সমাধান থাকলেও জোট হিসেবে এদের সাধারণ সমাধান নেই। আরও লক্ষ করি যে, প্রদত্ত সমীকরণ দুইটির লেখচিত্র দুইটি পরস্পর সমান্তরাল সরলরেখা। অর্থাৎ, রেখা দুইটি কখনো একে অপরকে ছেদ করবে না। অতএব, এদের কোনো সাধারণ ছেদ বিন্দু পাওয়া যাবে না। এ ক্ষেত্রে আমরা বলি যে, এরূপ সমীকরণজোটের কোনো সমাধান নেই। আমরা জানি, এরূপ সমীকরণজোট অসমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল।

আমরা এখন লেখচিত্রের সাহায্যে সমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল সমীকরণজোট সমাধান করবো।

দুই চলকবিশিষ্ট দুইটি সমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল সরল সমীকরণের লেখ একটি বিন্দুতে ছেদ করে। ঐ ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক দ্বারা উভয় সমীকরণ সিদ্ধ হবে। ছেদবিন্দুটির স্থানাঙ্কই হবে সমীকরণদ্বয়ের সমাধান।

উদাহরণ ৮. সমাধান কর ও সমাধান লেখচিত্রে দেখাও :

2x + y = 8

3x - 2y – 5

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়

2x + y – 8 = 0 ... (1)

3x - 2y 5 = 0 ...(2)

আড়গুণন পদ্ধতিতে পাই,

$\therefore$ সমাধান : (x, y) = (3, 2)

মনে করি, XOX' ও YOY' যথাক্রমে x-অক্ষ ও y-অক্ষ এবং O মূলবিন্দু। ছক কাগজের উভয় অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি দুই বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে (3,2) বিন্দুটি স্থাপন করি।

উদাহরণ ৯. লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান কর :

3x - y = 3

5x + y = 21

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়

3x – y = 3 . . . (1)

5x + y = 21 . . . (2)

সমীকরণ (1) থেকে পাই, 3x - y = 3, বা, y = 3x - 3

সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মান নিয়ে y এর অনুরূপ মান বের করি ও নিম্নের ছকটি তৈরি করি :

$\therefore$ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (–1, – 6), (0, – 3), (3, 6)

আবার, সমীকরণ (2) থেকে পাই, 5x + y = 21, বা, y = 21 – 52

সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মান নিয়ে y এর অনুরূপ মান বের করি ও নিম্নের ছকটি তৈরি করি :

$\therefore$ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (3, 6), ( 4, 1), (5, – 4) ।

মনে করি, XOX' ও YOY' যথাক্রমে x-অক্ষ ও y-অক্ষ এবং O মূলবিন্দু। ছক কাগজের উভয় অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি। এখন ছক কাগজে সমীকরণ (1) হতে প্রাপ্ত (–1, – 6), (0, – 3), ( 3, 6 ) বিন্দুগুলো স্থাপন করি ও এদের পরস্পর সংযুক্ত করি। লেখটি একটি সরলরেখা।

একইভাবে, সমীকরণ (2) হতে প্রাপ্ত (3, 6), ( 4, 1 ), ( 5, – 4 ) বিন্দুগুলো স্থাপন করি ও এদের পরস্পর সংযুক্ত করি। এক্ষেত্রেও লেখটি একটি সরলরেখা।

মনে করি, সরলরেখাদ্বয় পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করেছে। চিত্র থেকে দেখা যায়, P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (3, 6)

$\therefore$ সমাধান: (x, y) = ( 3, 6)

উদাহরণ ১০. লৈখিক পদ্ধতিতে সমাধান কর :

2x + 5y = −14

4x – 5y = 17

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়

2x + 5y = - 14 . . . (1)

4x - 5y = 17. . . (2)

সমীকরণটিতে x এর সুবিধামত কয়েকটি মান নিয়ে y এর অনুরূপ মান বের করি ও নিম্নের ছকটি তৈরি করি :

সমীকরণটিতে x এর সুবিধামত কয়েকটি মান নিয়ে y এর অনুরূপ মান বের করি ও নিম্নের ছকটি তৈরি করি :

মনে করি, XOX' ও YOY' যথাক্রমে x-অক্ষ ও y-অক্ষ এবং O মূলবিন্দু। ছক কাগজের উভয় অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি দুই বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি। এখন, ছক কাগজে সমীকরণ (1) থেকে প্রাপ্ত (3,-4), $\left(\frac{1}{3},-3\right), (-2,-2)$ বিন্দুগুলো স্থাপন করে এদের পরপর সংযুক্ত করি। লেখটি একটি সরলরেখা।

আবার, সমীকরণ (2) এ x-এর কয়েকটি মান নিয়ে y-এর অনুরূপ মান বের করি ও নিম্নের ছকটি তৈরি করি :

$\therefore$ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (1, 4), (2, 0 ), ( 3, –4)

মনে করি, XOX' ও YOY' যথাক্রমে x-অক্ষ ও y-অক্ষ এবং O মূলবিন্দু৷ ছক কাগজের উভয় অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি। এখন, ছক কাগজে সমীকরণ (1) থেকে প্রাপ্ত (−2, 6), (0, 3), (2, 0 ) বিন্দুগুলো স্থাপন করি ও বিন্দুগুলো পরপর সংযুক্ত করি। তাহলে, লেখটি হবে একটি সরলরেখা।

একইভাবে, সমীকরণ (2) থেকে প্রাপ্ত (3,-1), $\left(\frac{1}{3},-3\right), (-2,-5)$ বিন্দুগুলো স্থাপন করে এদের পরপর সংযুক্ত । লেখটি একটি সরলরেখা।

আবার, সমীকরণ (2) এ x-এর কয়েকটি মান নিয়ে y-এর অনুরূপ মান বের করি ও নিম্নের ছকটি তৈরি করি :

$\therefore$ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (1, 4), (2, 0 ), ( 3, –4)

মনে করি, XOX' ও YOY' যথাক্রমে x-অক্ষ ও y-অক্ষ এবং O মূলবিন্দু৷ ছক কাগজের উভয় অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি। এখন, ছক কাগজে সমীকরণ (1) থেকে প্রাপ্ত (−2, 6), (0, 3), (2, 0 ) বিন্দুগুলো স্থাপন করি ও বিন্দুগুলো পরপর সংযুক্ত করি। তাহলে, লেখটি হবে একটি সরলরেখা।

একইভাবে, সমীকরণ (2) থেকে প্রাপ্ত (1, 4), (2, 0), (3, – 4 ) বিন্দুগুলো স্থাপন করে এগুলো পরপর সংযুক্ত করি। তাহলে, লেখটি হবে একটি সরলরেখা।

মনে করি, সরলরেখাদ্বয় পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করে। চিত্রে দেখা যায়, P ছেদবিন্দুটির স্থানাঙ্ক (2, 0) I

$\therefore$ সমাধান : x = 2

বাস্তবভিত্তিক সমস্যার সহসমীকরণ গঠন ও সমাধান

দৈনন্দিন জীবনে এমন কিছু গাণিতিক সমস্যা আছে যা সমীকরণ গঠনের মাধ্যমে সমাধান করা সহজতর হয়। এ জন্য সমস্যার শর্ত বা শর্তাবলি থেকে দুইটি অজ্ঞাত রাশির জন্য দুইটি গাণিতিক প্রতীক, প্রধানত চলক x, y ধরা হয়। অজ্ঞাত রাশি দুইটির মান নির্ণয়ের জন্য দুইটি সমীকরণ গঠন করতে হয়। গঠিত সমীকরণদ্বয় সমাধান করলেই অজ্ঞাত রাশি দুইটির মান পাওয়া যায়।

উদাহরণ ১২. দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির সাথে 5 যোগ করলে যোগফল হবে সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্কের তিনগুণ। আর সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে, তা মূল সংখ্যাটি থেকে 9 কম হবে। সংখ্যাটি নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, নির্ণেয় সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্ক x এবং একক স্থানীয় অঙ্ক y। অতএব, সংখ্যাটি 10x + y ।

$\therefore$ ১ম শর্তানুসারে, x + y + 5 = 3x . . . (1)

এবং ২য় শর্তানুসারে, 10y + x = (10x + y) – 9 . . . (2)

সমীকরণ (1) থেকে পাই, y - 3x - x – 5, বা, y = 2x – 5 . . . (3)

আবার, সমীকরণ (2) থেকে পাই,

10y – y + x - 10x + 9 = 0

বা, 9y – 9x + 9 = 0

বা, y − x + 1 = 0

বা, 2x – 5 – x + 1 = 0 [(3) হতে y এর মান বসিয়ে পাই]

বা, x = 4

(3) এ x এর মান বসিয়ে পাই, y = 2 × 4 – 5 = 8 – 5 = 3

$\therefore$ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে 10x + y 10 × 4 + 3 = 40 + 3 = 43

উদাহরণ ১৩. আট বছর পূর্বে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের আটগুণ ছিল। দশ বছর পর পিতার বয়স পুত্রের বয়সের দ্বিগুণ হবে। বর্তমানে কার বয়স কত?

সমাধান : মনে করি, বর্তমানে পিতার বয়স x বছর ও পুত্রের বয়স y বছর।

$\therefore$ বর্তমানে পিতার বয়স 32 বছর ও পুত্রের বয়স 11 বছর।

উদাহরণ ১৪. একটি আয়তাকার বাগানের প্রস্থের দ্বিগুণ, দৈর্ঘ্য অপেক্ষা 10 মিটার বেশি এবং বাগানটির পরিসীমা 100 মিটার। বাগানটির সীমানার বাইরে চারদিকে 2 মিটার চওড়া রাস্তা আছে। রাস্তাটি ইট দিয়ে তৈরি করতে প্রতি বর্গ মিটারে 110 টাকা খরচ হয়।

ক) বাগানটির দৈর্ঘ্য x মিটার ও প্রস্থ y মিটার ধরে সমীকরণজোট গঠন কর।

খ) বাগানটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর।

গ) রাস্তাটি ইট দিয়ে তৈরি করতে মোট কত খরচ হবে?

সমাধান :

ক)

আয়তাকার বাগানটির দৈর্ঘ্য x মিটার ও প্রস্থ y মিটার।

$\therefore$ ১ম শর্তানুসারে, 2y = x + 10 (1)

এবং ২য় শর্তানুসারে, 2(x + y) = 100 . . . (2)

খ) সমীকরণ (2) হতে পাই, 2x + 2y = 100

বা, 2x + x + 10 100 [(1) হতে 2y এর মান বসিয়ে]

বা, 3x = 90

বা, x = 30

$\therefore$ (1) হতে পাই, 2y = 30 + 10 [x এর মান বসিয়ে]

বা, 2y = 40

বা, y = 20

$\therefore$ বাগানটির দৈর্ঘ্য 30 মিটার ও প্রস্থ 20 মিটার।

গ)

রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = (30+ 4) মি. = 34 মি. এবং রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = (20 + 4) মি. = 24 মি.

$\therefore$ রাস্তার ক্ষেত্রফল = রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল - বাগানের ক্ষেত্রফল

= (34 × 24 - 30 × 20) বর্গমিটার।

= (816 – 600) বর্গমিটার।

= 216 বর্গমিটার।

$\therefore$ ইট দিয়ে রাস্তা তৈরি করার খরচ = (216 × 110) টাকা = 23760 টাকা

উদাহরণ ১৫. ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটা কতবার একটির উপরে আরেকটি বসে? সময়গুলো নির্ণয় কর।

সমাধান: মনে করি, টা y মিনিটে ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটা একটি আরেকটির উপরে বসে। মনে রাখতে হবে x (সুবিধার্থে x 0,1, . . . 11 যেখানে 0 প্রকৃতপক্ষে 12 বোঝাবে) পূর্ণসংখ্যা হলেও y কিন্তু পূর্ণসংখ্যা নাও হতে পারে। আমরা জানি মিনিটের কাঁটা ঘণ্টার কাঁটার তুলনায় 12 গুণ বেশি দ্রুত চলে। x টার সময় ঘণ্টার কাঁটা ঠিক x লেখার উপরে এবং মিনিটের কাঁটা 12 এর উপরে ছিল। মিনিটে ঘন্টার কাঁটা $\frac{y}{12}$ এবং মিনিটের কাঁটা y ঘর অতিক্রম করবে। তাই

প্রথম ও শেষ সময় দুইটি একই সময় বলে কাঁটা দুইটি 11 বার মিলিত হবে এবং সময়গুলো হলো x টা $\frac{60}{11}x$ মিনিট।