i² = - 1 হলে, $\left|\begin{array}{ccc}i& i^3& i+i^3\\ i^3& i^5& i^3+i^5\\ i^5& i^7& i^5+i^7\end{array}\right|=?$

নির্ণায়কের ধর্মাবলী ব্যবহার করে বিভিন্ন ধরনের গাণিতিক সমস্যা সমাধান করা যায়। নিচে কিছু সাধারণ সমস্যা এবং নির্ণায়কের ধর্মের প্রয়োগের মাধ্যমে সেগুলোর সমাধান প্রদর্শন করা হলো।

উদাহরণ ১: নির্ণায়ক শূন্য হলে ম্যাট্রিক্স সিংগুলার কিনা যাচাই করা

ধরা যাক, একটি \(3 \times 3\) ম্যাট্রিক্স \(A\) দেওয়া হয়েছে:

\[
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}
\]

\(A\) ম্যাট্রিক্সটি সিংগুলার কিনা তা নির্ণয় করতে হলে আমরা এর নির্ণায়ক বের করব।

\[
|A| = 1 \times (5 \times 9 - 6 \times 8) - 2 \times (4 \times 9 - 6 \times 7) + 3 \times (4 \times 8 - 5 \times 7)
\]

\[
= 1 \times (45 - 48) - 2 \times (36 - 42) + 3 \times (32 - 35)
\]

\[
= 1 \times (-3) - 2 \times (-6) + 3 \times (-3)
\]

\[
= -3 + 12 - 9 = 0
\]

যেহেতু \(|A| = 0\), তাই \(A\) একটি সিংগুলার ম্যাট্রিক্স। অর্থাৎ, এর কোনো বিপরীত (Inverse) নেই।

উদাহরণ ২: দুটি ম্যাট্রিক্সের গুণফলের নির্ণায়ক নির্ণয়

ধরা যাক, \(A\) এবং \(B\) দুটি \(2 \times 2\) ম্যাট্রিক্স, যেখানে

\[
A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \quad \text{এবং} \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}
\]

আমরা জানতে চাই \(|AB|\) কত।

প্রথমে \(|A|\) এবং \(|B|\) নির্ণয় করি:

\[
|A| = 2 \times 4 - 3 \times 1 = 8 - 3 = 5
\]

\[
|B| = 0 \times 2 - 1 \times (-1) = 0 + 1 = 1
\]

এখন, নির্ণায়কের ধর্মাবলী অনুযায়ী, \(|AB| = |A| \times |B|\), সুতরাং

\[
|AB| = 5 \times 1 = 5
\]

উদাহরণ ৩: নির্ণায়কের সাহায্যে সিস্টেম অফ লিনিয়ার ইকুয়েশন সমাধান

ধরা যাক, আমাদের নিচের দুটি সমীকরণ দেওয়া আছে:

\[
2x + 3y = 5
\]
\[
4x + y = 11
\]

এটি সমাধান করার জন্য আমরা ক্র্যামের নিয়ম ব্যবহার করতে পারি।

প্রথমে কফিশিয়েন্ট ম্যাট্রিক্সটি লিখি এবং এর নির্ণায়ক বের করি:

\[
A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}
\]

\[
|A| = 2 \times 1 - 3 \times 4 = 2 - 12 = -10
\]

এখন, \(x\) এবং \(y\)-এর জন্য আলাদা ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক বের করি।

\(x\)-এর জন্য ম্যাট্রিক্স

\[
A_x = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 11 & 1 \end{pmatrix}
\]

\[
|A_x| = 5 \times 1 - 3 \times 11 = 5 - 33 = -28
\]

\(y\)-এর জন্য ম্যাট্রিক্স

\[
A_y = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 4 & 11 \end{pmatrix}
\]

\[
|A_y| = 2 \times 11 - 5 \times 4 = 22 - 20 = 2
\]

এখন, ক্র্যামের নিয়ম অনুযায়ী,

\[
x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{-28}{-10} = 2.8
\]

\[
y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{2}{-10} = -0.2
\]

অতএব, সমাধান হলো \(x = 2.8\) এবং \(y = -0.2\)।

উদাহরণ ৪: একটি ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক নির্ণয়

যদি একটি ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স দেওয়া থাকে যেমন:

\[
A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 1 & -1 & 4 \end{pmatrix}
\]

ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক নির্ণয় করার জন্য শুধুমাত্র প্রধান কর্ণের উপাদানগুলোর গুণফল করতে হবে:

\[
|A| = 3 \times 5 \times 4 = 60
\]

উদাহরণ ৫: ট্রান্সপোজ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক নির্ণয়

ধরা যাক, একটি ম্যাট্রিক্স \(A\) দেওয়া আছে:

\[
A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}
\]

আমরা জানি যে \(|A^T| = |A|\), সুতরাং প্রথমে \(|A|\) নির্ণয় করি:

\[
|A| = 2 \times 4 - (-1) \times 3 = 8 + 3 = 11
\]

তাহলে \(|A^T| = 11\)।

এই উদাহরণগুলো থেকে বোঝা যায় যে নির্ণায়কের ধর্মাবলী ব্যবহার করে ম্যাট্রিক্স সম্পর্কিত বিভিন্ন গাণিতিক সমস্যা সমাধান করা সহজ হয়ে যায়।