If a number is successively divided by 3, 5 and 7 the remainders obtained are 1,0 and 3 respectively. If the number is divided by 105 what will be the remainder?

এই ধরণের সমস্যা সমাধানের জন্য, আমাদের শেষ থেকে শুরু করে সংখ্যাটি নির্ণয় করতে হবে।

ধরি, সংখ্যাটি \(N\)। এটিকে পর্যায়ক্রমে 3, 5 এবং 7 দিয়ে ভাগ করা হয়েছে।

শেষ ভাগফলটি থেকে শুরু করি:

    
• যখন ভাগফলকে 7 দিয়ে ভাগ করা হয়, তখন ভাগশেষ 3 হয়।
    
• এই ক্ষেত্রে, সর্বনিম্ন সম্ভাব্য ভাগফল হবে \(7 \times 0 + 3 = 3\)।

এখন এর আগের ধাপের ভাগফলে ফিরে যাই:

    
• যখন ভাগফলকে 5 দিয়ে ভাগ করা হয়, তখন ভাগশেষ 0 হয় এবং এই ভাগফলটিই 7 দিয়ে ভাগ করার পর পাওয়া ভাগফল।
    
• সুতরাং, এই ভাগফলটি হবে \(5 \times 3 + 0 = 15\)।

এবার মূল সংখ্যায় ফিরে যাই:

    
• যখন মূল সংখ্যা \(N\) কে 3 দিয়ে ভাগ করা হয়, তখন ভাগশেষ 1 হয় এবং এই ভাগফলটিই 5 দিয়ে ভাগ করার পর পাওয়া ভাগফল।
    
• সুতরাং, সর্বনিম্ন সম্ভাব্য সংখ্যা \(N\) হবে \(3 \times 15 + 1 = 45 + 1 = 46\)।

এই প্রক্রিয়াটিকে একটি সাধারণ ফর্মুলায় প্রকাশ করা যেতে পারে:

যদি সর্বশেষ ভাগফল \(k\) হয়, তাহলে:

১. প্রথম ভাগফল \(Q_2 = 7k + 3\)

২. দ্বিতীয় ভাগফল \(Q_1 = 5 \times Q_2 + 0 = 5(7k + 3) = 35k + 15\)

৩. মূল সংখ্যা \(N = 3 \times Q_1 + 1 = 3(35k + 15) + 1 = 105k + 45 + 1 = 105k + 46\)

সুতরাং, সংখ্যাটি \(105k + 46\) আকারের হবে।

এখন, যদি সংখ্যাটিকে 105 দিয়ে ভাগ করা হয়, তাহলে ভাগশেষ হবে \(46\)।

\(N \div 105 \implies (105k + 46) \div 105\)

ভাগশেষ = \(46\)।

বিকল্পগুলিতে 46 নেই।

অতএব, সঠিক উত্তরটি হবে "None"।