If n3 is odd, which of the following statements are true?

ধরি, $n^3$ একটি odd integer তাহলে $n^3$ কে 2K   +   1 হিসেবে প্রকাশ করা যায়, যেখানে k যে কোনো integer
$$\begin{gathered} n^3=2k+1 \\ \Rightarrow n^3-1=2k \\ \Rightarrow \left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)=2k \\ \Rightarrow \left(n-1\right)\left\{n\left(n+1\right)+1\right\}=2k \end{gathered}$$
যেহেতু ডানপাশে 2k তাহলে বামপাশের দুটি Factor multiply করে একটি even number গঠন করবে।এখানে n(n  +  1) সবসময় even  যেহেতু দুটি consecutive terms product even, এর যেমন -  $2\times 3=6$ এর সাথে 1 যোগ মানে odd. তাহলে (n - 1) নিশ্চয়ই even কেননা (n - 1) এবং {n(n  +  1)  +  1}এর গুণফল even;odd এবং odd এর গুণফল even হতে পারে না।(n - 1) even মানে n odd । আবার odd সংখ্যার সাথে odd গুণফল এর odd অর্থাৎ $n^{2}odd$ ।