In a triangle, the lengths of two sides are 5 and 9, and the length of the third side is x. Which of the following statements must be true?

বিস্তারিত সমাধান:

ত্রিভুজের বাহু সম্পর্কিত একটি মৌলিক উপপাদ্য হলো:

    
• শর্ত ১ (সমষ্টির নিয়ম): ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি এর তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর।
    
• শর্ত ২ (অন্তরের নিয়ম): ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের পার্থক্য (অন্তর) এর তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।

প্রদত্ত ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(5\) ও \(9\) এবং তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য \(x\)।

১. প্রথম নিয়ম অনুযায়ী (দুই বাহুর সমষ্টি > তৃতীয় বাহু):
\(5 + 9 > x\)
\(\implies 14 > x\)
\(\implies x < 14\)

২. দ্বিতীয় নিয়ম অনুযায়ী (অন্য দুই বাহুর সমষ্টি > অপর বাহু):
\(x + 5 > 9\)
\(\implies x > 9 - 5\)
\(\implies x > 4\)

অতএব, তৃতীয় বাহু \(x\)-এর সীমানা হলো: \(4 < x < 14\)।

অপশন বিশ্লেষণ:

    
• \(x > 5\): এটি সবসময় সত্য নয়, কারণ \(x\)-এর মান \(4.5\) হতে পারে (যা \(5\)-এর চেয়ে ছোট হলেও ত্রিভুজ গঠন সম্ভব)।
    
• \(x < 9\): এটি সবসময় সত্য নয়, কারণ \(x\)-এর মান \(10\) হতে পারে (যা \(9\)-এর চেয়ে বড় হলেও ত্রিভুজ গঠন সম্ভব)।
    
• \(x < 14\): ত্রিভুজ গঠনের মৌলিক উপপাদ্য (\(5 + 9 > x\)) অনুযায়ী \(x\)-এর মান অবশ্যই \(14\)-এর চেয়ে ছোট হতে হবে। তাই এটি সর্বদা সত্য।
    
• \(x > 4\): দুই বাহুর পার্থক্য অনুযায়ী \(x\)-এর মান অবশ্যই \(4\)-এর চেয়ে বড় হতে হবে। তাই এটিও গাণিতিকভাবে সত্য।

সুতরাং, ত্রিভুজ গঠনের শর্তানুসারে \(x\)-এর মান অবশ্যই \(4\)-এর চেয়ে বড় এবং \(14\)-এর চেয়ে ছোট হতে হবে (\(4 < x < 14\))। মূল উপপাদ্য (দুই বাহুর সমষ্টি > তৃতীয় বাহু) সরাসরি প্রয়োগ করলে \(x < 14\) পাওয়া যায়।