${}^n{P}_r=120$ ও ${}^n{C}_r=20$ হলে, r এর মান কত?

সমাবেশের সংখ্যা নির্ণয়ের বিভিন্ন সূত্র এবং এর প্রয়োগ কম্বিনেটরিক্সে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। সমাবেশ হলো নির্দিষ্ট কিছু বস্তুর নির্বাচন, যেখানে ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়।

সমাবেশ সংখ্যা নির্ণয়ের বিভিন্ন সূত্র

১. \( n \) টি বস্তু থেকে \( r \) টি বস্তুর সমাবেশ

যখন \( n \)টি ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে \( r \)টি বস্তু নির্বাচিত করা হয় এবং ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়, তখন সমাবেশের সংখ্যা নির্ণয় করা হয় এই সূত্র দিয়ে:

\[
C(n, r) = \frac{n!}{r! \times (n - r)!}
\]

এখানে:

• \( n \) হলো মোট বস্তু সংখ্যা।
• \( r \) হলো নির্বাচিত বস্তু সংখ্যা।
• \( n! \) হলো \( n \)-এর ফ্যাক্টোরিয়াল।

উদাহরণ:

ধরা যাক, \(5\)টি ভিন্ন বস্তু থেকে \(3\)টি বস্তুর সমাবেশ তৈরি করতে হবে।

\[
C(5, 3) = \frac{5!}{3! \times (5 - 3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = 10
\]

অর্থাৎ, \(5\)টি বস্তু থেকে \(3\)টি বস্তুর সমাবেশ তৈরি করার মোট ১০টি উপায় রয়েছে।

২. পূর্ণ সমাবেশ বা সবগুলো বস্তুর সমাবেশ

যখন \( r = n \) অর্থাৎ সবগুলো বস্তুই নির্বাচন করতে হবে, তখন সমাবেশের সংখ্যা সবসময় একটিই হবে, কারণ বস্তুর সংখ্যা এবং নির্বাচনের সংখ্যার পার্থক্য নেই। সুতরাং,

\[
C(n, n) = 1
\]

৩. শূন্য বস্তুর সমাবেশ

কোনো বস্তু না নিয়ে সমাবেশ তৈরি করলে এর সংখ্যা সবসময় একটিই হয় (শূন্য সেট)। অর্থাৎ,

\[
C(n, 0) = 1
\]

৪. পুনরাবৃত্তি সহ সমাবেশ (Combination with Repetition)

যদি \( n \)টি বস্তু থাকে এবং প্রতিটি বস্তুকে একাধিকবার নির্বাচন করা যায়, তখন পুনরাবৃত্তি সহ সমাবেশের সংখ্যা হবে:

\[
C(n + r - 1, r) = \frac{(n + r - 1)!}{r! \times (n - 1)!}
\]

এখানে:

• \( n \) হলো ভিন্ন বস্তুর সংখ্যা।
• \( r \) হলো নির্বাচিত বস্তুর সংখ্যা।

উদাহরণ:

ধরা যাক, \(3\)টি ফল (যেমন আপেল, কমলা, কলা) থেকে \(2\)টি ফল নির্বাচন করতে হবে এবং প্রতিটি ফল একাধিকবার নির্বাচন করা যাবে। তাহলে পুনরাবৃত্তি সহ সমাবেশ হবে:

\[
C(3 + 2 - 1, 2) = C(4, 2) = \frac{4!}{2! \times 2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6
\]

সমাবেশের প্রয়োগ

১. দল গঠন: একটি দলের নির্দিষ্ট সদস্যদের নির্বাচন করতে, যেখানে ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়। যেমন, \(10\) জন ছাত্র থেকে \(3\) জনকে নির্বাচন করা।

২. সংগ্রহ নির্বাচন: নির্দিষ্ট সংখ্যক বই থেকে কয়েকটি বই নির্বাচন করা, যেখানে বইগুলোর ক্রম প্রয়োজনীয় নয়।

৩. কার্ড গেমস: তাসের গেমে বিভিন্ন কার্ডের সমষ্টি নির্বাচন করা। যেমন, \(52\) কার্ড থেকে \(5\)টি কার্ড নির্বাচন।

৪. উপাদানের সম্ভাব্য সংমিশ্রণ: রান্নার বিভিন্ন উপাদান বা রাসায়নিক উপাদান নির্বাচন করা, যেখানে উপাদানের ক্রম কোনো পরিবর্তন আনে না।

৫. সম্ভাবনা: সম্ভাবনা নির্ণয়ে নির্দিষ্ট সংখ্যক বস্তু নিয়ে সমাবেশ তৈরি করা, যেখানে শুধু উপস্থিতির ভিত্তিতে গণনা করা হয়।

মূল পার্থক্য: বিন্যাস বনাম সমাবেশ

• বিন্যাসে ক্রম গুরুত্বপূর্ণ, তাই বিভিন্ন ক্রমে সাজানো হলে সেটি আলাদা গণ্য হয়।
• সমাবেশে ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়, ফলে শুধু উপস্থিতি গুরুত্বপূর্ণ।

সমাবেশ কম্বিনেটরিক্সের একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা, এবং এটি বাস্তব জীবনের বিভিন্ন সমস্যার সমাধানে সহায়ক, যেখানে শুধুমাত্র নির্বাচিত বস্তুগুলোর উপস্থিতি গুরুত্বপূর্ণ, ক্রম নয়।