P(x, y, z) = x²(y-z) + y²(z-x)+z²(x - y) রাশিটি- 

i. সমমাত্রিক 

ii. চক্র-ক্রমিক 

iii. প্রতিসম 

নিচের কোনটি সঠিক?

প্রদত্ত রাশিটি হলো: \( P(x, y, z) = x^2(y-z) + y^2(z-x) + z^2(x - y) \)

আমরা রাশির তিনটি ধর্ম পরীক্ষা করব:

    
• i. সমমাত্রিক (Homogeneous) রাশি:
    

কোনো বীজগণিতীয় রাশির প্রতিটি পদের ঘাত বা মাত্রা একই হলে, রাশিটিকে সমমাত্রিক রাশি বলে।

    

প্রদত্ত রাশিটিকে বিস্তৃত করলে আমরা পাই:

    

\( P(x, y, z) = x^2y - x^2z + y^2z - y^2x + z^2x - z^2y \)

    

এখানে প্রতিটি পদের মাত্রা গণনা করা হলো:

    
        
• \( x^2y \) এর মাত্রা: \( 2+1 = 3 \)
        
• \( x^2z \) এর মাত্রা: \( 2+1 = 3 \)
        
• \( y^2z \) এর মাত্রা: \( 2+1 = 3 \)
        
• \( y^2x \) এর মাত্রা: \( 2+1 = 3 \)
        
• \( z^2x \) এর মাত্রা: \( 2+1 = 3 \)
        
• \( z^2y \) এর মাত্রা: \( 2+1 = 3 \)
    
    

যেহেতু প্রতিটি পদের মাত্রা 3, তাই রাশিটি একটি সমমাত্রিক রাশি। সুতরাং, বিবৃতি (i) সঠিক।

    
• ii. চক্র-ক্রমিক (Cyclic) রাশি:
    

যদি কোনো রাশি x, y, z চলকগুলোর মধ্যে x এর জায়গায় y, y এর জায়গায় z এবং z এর জায়গায় x বসালে অপরিবর্তিত থাকে, তবে তাকে চক্র-ক্রমিক রাশি বলে।

    

প্রদত্ত রাশি \( P(x, y, z) = x^2(y-z) + y^2(z-x) + z^2(x - y) \) তে x এর জায়গায় y, y এর জায়গায় z এবং z এর জায়গায় x বসিয়ে পাই:

    

\( P(y, z, x) = y^2(z-x) + z^2(x-y) + x^2(y - z) \)

    

লক্ষ্য করুন, নতুন রাশিটি মূল রাশিরই পদগুলোর ক্রম পরিবর্তন মাত্র। অর্থাৎ, \( P(x, y, z) = P(y, z, x) \)।

    

সুতরাং, রাশিটি একটি চক্র-ক্রমিক রাশি। সুতরাং, বিবৃতি (ii) সঠিক।

    
• iii. প্রতিসম (Symmetric) রাশি:
    

যদি কোনো রাশির যেকোনো দুটি চলক পরস্পর স্থান পরিবর্তন করলে রাশির মান অপরিবর্তিত থাকে, তবে তাকে প্রতিসম রাশি বলে।

    

প্রদত্ত রাশি \( P(x, y, z) = x^2(y-z) + y^2(z-x) + z^2(x - y) \) তে x এবং y চলকদ্বয় পরস্পর স্থান পরিবর্তন করে পাই:

    

\( P(y, x, z) = y^2(x-z) + x^2(z-y) + z^2(y - x) \)

    

এখানে, \( P(y, x, z) = y^2x - y^2z + x^2z - x^2y + z^2y - z^2x \)

    

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে \( P(y, x, z) \) এবং \( P(x, y, z) \) একই নয়। যেমন, যদি \( x=1, y=2, z=3 \) বসাই:

    

\( P(1,2,3) = 1^2(2-3) + 2^2(3-1) + 3^2(1-2) = 1(-1) + 4(2) + 9(-1) = -1 + 8 - 9 = -2 \)

    

এবং x ও y বিনিময় করলে:

    

\( P(2,1,3) = 2^2(1-3) + 1^2(3-2) + 3^2(2-1) = 4(-2) + 1(1) + 9(1) = -8 + 1 + 9 = 2 \)

    

যেহেতু \( P(1,2,3) \neq P(2,1,3) \) (অর্থাৎ \( -2 \neq 2 \)), তাই রাশিটি প্রতিসম নয়। সুতরাং, বিবৃতি (iii) ভুল।

উপসংহার: রাশিটি সমমাত্রিক এবং চক্র-ক্রমিক কিন্তু প্রতিসম নয়। তাই সঠিক উত্তর হলো i ও ii।