$r=4 a \cos c\theta cot\theta$ পোলার সমীকরণটিকে কার্টেসীয় সমীকরনে রূপান্তরিত করলে কোনটি হবে-

কার্তেসীয় এবং পোলার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার মধ্যে সম্পর্ক হলো বিভিন্ন স্থানাঙ্ক সিস্টেমের মধ্যে অবস্থান নির্দেশ করার একটি উপায়। এই দুই স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার মধ্যে সম্পর্ক বোঝার জন্য নিচে বিস্তারিত আলোচনা করা হলো:

কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক (Cartesian Coordinates)

কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে (Cartesian Coordinates) একটি বিন্দুর অবস্থানকে \( (x, y) \) আকারে প্রকাশ করা হয়, যেখানে:

• \( x \): \( x \)-অক্ষের সাথে বিন্দুর দূরত্ব
• \( y \): \( y \)-অক্ষের সাথে বিন্দুর দূরত্ব

পোলার স্থানাঙ্ক (Polar Coordinates)

পোলার স্থানাঙ্কে (Polar Coordinates) একটি বিন্দুর অবস্থানকে \( (r, \theta) \) আকারে প্রকাশ করা হয়, যেখানে:

• \( r \): বিন্দুটি মূলবিন্দু (Origin) থেকে কত দূরে আছে (ব্যাসার্ধ বা দূরত্ব)
• \( \theta \): \( x \)-অক্ষের সাথে বিন্দুর অবস্থানের কোণ

কার্তেসীয় থেকে পোলার রূপান্তর

কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \( (x, y) \) থেকে পোলার স্থানাঙ্ক \( (r, \theta) \) এ রূপান্তর করার জন্য নিচের সূত্রগুলো ব্যবহার করা হয়:
\[
r = \sqrt{x^2 + y^2}
\]
\[
\theta = \tan^{-1} \left( \frac{y}{x} \right)
\]
এখানে \( r \) হল ব্যাসার্ধ এবং \( \theta \) হল কোণ।

পোলার থেকে কার্তেসীয় রূপান্তর

পোলার স্থানাঙ্ক \( (r, \theta) \) থেকে কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \( (x, y) \) এ রূপান্তর করার জন্য নিচের সূত্রগুলো ব্যবহার করা হয়:
\[
x = r \cos \theta
\]
\[
y = r \sin \theta
\]
এখানে \( r \) হল মূলবিন্দু থেকে বিন্দুর দূরত্ব এবং \( \theta \) হল কোণ।

উদাহরণ

যদি একটি বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \( (3, 4) \) হয়, তাহলে আমরা পোলার স্থানাঙ্কে এটি বের করতে পারি:

1. \( r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
2. \( \theta = \tan^{-1} \left( \frac{4}{3} \right) \approx 53.13^\circ \) বা \( 0.93 \) রেডিয়ান

অতএব, পোলার স্থানাঙ্ক \( (5, 53.13^\circ) \) বা \( (5, 0.93) \)।

এইভাবে কার্তেসীয় এবং পোলার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার মধ্যে রূপান্তর করতে এই সূত্রগুলো ব্যবহার করা হয়।