${\sin }^{-1}x {\cos }^{-1}x=\frac{\mathrm{\pi }}{4}$হলে x এর মান কোনটি?

বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মূল সমীকরণগুলি ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির মান থেকে তাদের সংশ্লিষ্ট কোণ বের করার জন্য ব্যবহৃত হয়। প্রতিটি বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের জন্য মূল সমীকরণগুলি হলো:

1. \( \sin^{-1}(x) \) বা \( \arcsin(x) \) এর সমীকরণ:

বিপরীত সাইন ফাংশনের মূল সমীকরণ হল:

\[
\sin^{-1}(x) = \theta \quad \text{যেখানে} \quad \sin(\theta) = x, , \text{এবং} , -1 \leq x \leq 1 , \text{এবং} , -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}
\]

এটি অর্থাৎ \( \theta \) হলো সেই কোণ, যার সাইন \( x \) সমান।

2. \( \cos^{-1}(x) \) বা \( \arccos(x) \) এর সমীকরণ:

বিপরীত কসমাইন ফাংশনের মূল সমীকরণ হল:

\[
\cos^{-1}(x) = \theta \quad \text{যেখানে} \quad \cos(\theta) = x, , \text{এবং} , -1 \leq x \leq 1 , \text{এবং} , 0 \leq \theta \leq \pi
\]

এটি অর্থাৎ \( \theta \) হলো সেই কোণ, যার কসমাইন \( x \) সমান।

3. \( \tan^{-1}(x) \) বা \( \arctan(x) \) এর সমীকরণ:

বিপরীত ট্যানজেন্ট ফাংশনের মূল সমীকরণ হল:

\[
\tan^{-1}(x) = \theta \quad \text{যেখানে} \quad \tan(\theta) = x, , \text{এবং} , -\infty < x < \infty , \text{এবং} , -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}
\]

এটি অর্থাৎ \( \theta \) হলো সেই কোণ, যার ট্যানজেন্ট \( x \) সমান।

এই সমীকরণের ব্যাখ্যা:

• \( \sin^{-1}(x) \): এটি সেই কোণ \( \theta \) নির্ধারণ করে, যার সাইন \( x \)-এর সমান হয়। এখানে \( \theta \)-এর মান \( -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} \) হতে হবে।
• \( \cos^{-1}(x) \): এটি সেই কোণ \( \theta \) নির্ধারণ করে, যার কসমাইন \( x \)-এর সমান হয়। এখানে \( \theta \)-এর মান \( 0 \leq \theta \leq \pi \) হতে হবে।
• \( \tan^{-1}(x) \): এটি সেই কোণ \( \theta \) নির্ধারণ করে, যার ট্যানজেন্ট \( x \)-এর সমান হয়। এখানে \( \theta \)-এর মান \( -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} \) হতে হবে।

এই সমীকরণগুলি ত্রিকোণমিতিক গুণফল থেকে সংশ্লিষ্ট কোণ বের করতে ব্যবহৃত হয় এবং গাণিতিক সমস্যাগুলির সমাধান করার জন্য গুরুত্বপূর্ণ।