x -অক্ষ  বরাবর চলমান একটি বস্তুর বেগ দেওয়া আছে v = 4t - 3t ² যেখানে v  মি /সে এবং t সেকেন্ডে প্রকাশিত। t = 0 সেকেন্ড হতে t = 2 সেকেন্ড পর্যন্ত সময়কালে বস্তুটির গড় বেগ কত হবে? 

ব্যাখ্যাঃ

একটি বস্তুর গড় বেগ (average velocity) হলো মোট সরণ (total displacement) এবং মোট সময় ব্যবধানের (total time interval) অনুপাত।

গড় বেগ, \(v_{avg} = \frac{\text{মোট সরণ}}{\text{মোট সময়}}\)

প্রদত্ত বেগের সমীকরণ: \(v = 4t - 3t^2\)

আমরা জানি, বেগ হলো সরণের হার, অর্থাৎ \(v = \frac{dx}{dt}\)।

সুতরাং, সরণ বের করার জন্য বেগের সমীকরণকে সময়ের সাপেক্ষে ইন্টিগ্রেট (integration) করতে হবে।

মোট সরণ (\(\Delta x\)) নির্ণয়:

\[ \Delta x = \int_{t_1}^{t_2} v \, dt \]

এখানে, \(t_1 = 0\) সেকেন্ড এবং \(t_2 = 2\) সেকেন্ড।

\[ \Delta x = \int_{0}^{2} (4t - 3t^2) \, dt \]

ইন্টিগ্রেশন করে পাই:

\[ \Delta x = \left[ \frac{4t^{1+1}}{1+1} - \frac{3t^{2+1}}{2+1} \right]_{0}^{2} \] \[ \Delta x = \left[ \frac{4t^2}{2} - \frac{3t^3}{3} \right]_{0}^{2} \] \[ \Delta x = \left[ 2t^2 - t^3 \right]_{0}^{2} \]

এখন, ইন্টিগ্রেশনের সীমাগুলো বসিয়ে পাই:

\[ \Delta x = (2(2)^2 - (2)^3) - (2(0)^2 - (0)^3) \] \[ \Delta x = (2 \times 4 - 8) - (0 - 0) \] \[ \Delta x = (8 - 8) - 0 \] \[ \Delta x = 0 - 0 \] \[ \Delta x = 0 \, \text{m} \]

অতএব, \(t = 0\) সেকেন্ড হতে \(t = 2\) সেকেন্ড পর্যন্ত সময়কালে বস্তুটির মোট সরণ \(0\) মিটার।

মোট সময় ব্যবধান (\(\Delta t\)) নির্ণয়:

\[ \Delta t = t_2 - t_1 = 2 - 0 = 2 \, \text{s} \]

এখন, গড় বেগ নির্ণয়:

\[ v_{avg} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{0 \, \text{m}}{2 \, \text{s}} = 0 \, \text{m/s} \]

সুতরাং, বস্তুটির গড় বেগ \(0\) মি/সে।