$x^2 - \sqrt{3}x + 1 = 0$ হলে $x^3+\frac{1}{x^3}$ এর মান কোনটি?

নিশ্চায়ক ও মূলের প্রকৃতি (Discriminant & Nature of Roots)

দ্বিঘাত সমীকরণ:

$a{x}^2+bx+c=0$

এখানে, a ≠ 0 এবং a, b, c ∈ বাস্তব সংখ্যা।

দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের সূত্র

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

এখানে বর্গমূলের ভিতরের অংশকে নিশ্চায়ক (Discriminant) বলা হয়।

নিশ্চায়ক (Discriminant)

$D=b^2-4ac$

মূলের প্রকৃতি (Nature of Roots)

১. D > 0 হলে

দুটি বাস্তব ও অসমান মূল পাওয়া যায়।

$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

২. D = 0 হলে

দুটি সমান বাস্তব মূল পাওয়া যায়।

$x=\frac{-b}{2a}$

৩. D < 0 হলে

কোনো বাস্তব মূল থাকে না, মূলদ্বয় জটিল (imaginary) হয়।

৪. বিশেষ অবস্থা

যদি a, b, c ∈ Q এবং D পূর্ণবর্গ হয়, তবে মূলদ্বয় মূলদ (rational) হয়।

মনে রাখার উপায়

• D > 0 → বাস্তব ও অসমান মূল
• D = 0 → সমান বাস্তব মূল
• D < 0 → জটিল মূল