$x^2-6x+9=0$ সমীকরণের মূল কয়টি?

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

\(x^2 - 6x + 9 = 0\)

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ (quadratic equation)। একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের সংখ্যা তার নিশ্চয়ক (discriminant) এর মানের উপর নির্ভর করে।

একটি সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ \(ax^2 + bx + c = 0\) এর ক্ষেত্রে, নিশ্চয়ক \(D = b^2 - 4ac\)। মূলের প্রকৃতি ও সংখ্যা নির্ণয়ের নিয়মাবলী হলো:

    
• যদি \(D > 0\) হয়, তাহলে সমীকরণটির দুটি ভিন্ন বাস্তব মূল (distinct real roots) থাকে।
    
• যদি \(D = 0\) হয়, তাহলে সমীকরণটির একটি বাস্তব মূল থাকে (যা দুটি অভিন্ন বা একই বাস্তব মূল)।
    
• যদি \(D < 0\) হয়, তাহলে সমীকরণটির কোনো বাস্তব মূল থাকে না (দুটি জটিল মূল থাকে)।

প্রদত্ত সমীকরণ \(x^2 - 6x + 9 = 0\) কে \(ax^2 + bx + c = 0\) এর সাথে তুলনা করে পাই:

\(a = 1\)

\(b = -6\)

\(c = 9\)

এখন, নিশ্চয়ক নির্ণয় করি:

\(D = b^2 - 4ac\)

\(D = (-6)^2 - 4 \times 1 \times 9\)

\(D = 36 - 36\)

\(D = 0\)

যেহেতু নিশ্চয়ক \(D = 0\), সেহেতু সমীকরণটির একটি বাস্তব মূল রয়েছে, যা অভিন্ন বা একই দুটি মূলের প্রতিনিধিত্ব করে। যখন নিশ্চয়ক শূন্য হয়, তখন আমরা সাধারণত একটি স্বতন্ত্র বাস্তব মূলের কথা বলি।

বিকল্পভাবে, সমীকরণটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করেও সমাধান করা যায়:

\(x^2 - 6x + 9 = 0\)

এটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি, যা \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) আকারের সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ।

\(x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = 0\)

\((x-3)^2 = 0\)

এর অর্থ হলো:

\(x-3 = 0\)

\(x = 3\)

সুতরাং, সমীকরণটির শুধুমাত্র একটি স্বতন্ত্র মূল \(x=3\) আছে। যদিও একটি দ্বিঘাত সমীকরণের সর্বদা দুটি মূল থাকে (গণনার সুবিধা বা মৌলিক উপপাদ্য অনুসারে, যা একইও হতে পারে), প্রশ্নে "কয়টি মূল" বলতে সাধারণত স্বতন্ত্র মূলের সংখ্যা বোঝানো হয় যখন নিশ্চয়ক শূন্য হয়।