$x^2–8x–3$ এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?

একটি রাশিকে পূর্ণবর্গ করতে হলে, সেটিকে \( (a+b)^2 \) অথবা \( (a-b)^2 \) আকারে প্রকাশ করতে হবে।

আমরা জানি,

    
• \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
    
• \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)

দেওয়া আছে রাশিটি হলো \( x^2 – 8x – 3 \)।

এখানে প্রথম পদ \( x^2 \) এবং দ্বিতীয় পদ \( -8x \)।

যদি আমরা এটিকে \( (a-b)^2 \) এর সাথে তুলনা করি, তাহলে \( a = x \)।

মধ্যপদ \( -2ab = -8x \)।

বা, \( -2 \cdot x \cdot b = -8x \)

বা, \( 2b = 8 \)

বা, \( b = \frac{8}{2} \)

বা, \( b = 4 \)

সুতরাং, পূর্ণবর্গ হতে হলে তৃতীয় পদটি \( b^2 \) অর্থাৎ \( 4^2 = 16 \) হতে হবে।

অর্থাৎ, রাশিটি পূর্ণবর্গ হলে তা \( x^2 - 8x + 16 \) হবে।

কিন্তু দেওয়া আছে \( x^2 - 8x - 3 \)।

মনে করি, \( x^2 - 8x - 3 \) এর সাথে \( K \) যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে।

তাহলে, \( x^2 - 8x - 3 + K = x^2 - 8x + 16 \)

উভয় পক্ষ থেকে \( x^2 - 8x \) বাদ দিলে পাই,

\( -3 + K = 16 \)

\( K = 16 + 3 \)

\( K = 19 \)

অতএব, \( x^2 – 8x – 3 \) এর সাথে \( 19 \) যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে।