${\left(x^{\mathit{4}}\mathit{-}\frac{\mathit{1}}{x^{\mathit{3}}}\right)}^{\mathit{15}}$ এর বিস্তৃতিতে $x^{\mathit{32}}\mathit{}$ এর সহগ কোনটি?

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত দ্বিপদী রাশিটি হলো \(\left(x^4 - \frac{1}{x^3}\right)^{15}\)

এখানে, প্রথম পদ \(a = x^4\), দ্বিতীয় পদ \(b = -\frac{1}{x^3} = -x^{-3}\) এবং ঘাত \(n = 15\)।

আমরা জানি, \((a+b)^n\) এর বিস্তৃতিতে \((r+1)\) তম পদ বা সাধারণ পদ হলো \(T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r\)।

সুতরাং, প্রদত্ত রাশির বিস্তৃতিতে \((r+1)\) তম পদ হবে:

\(T_{r+1} = \binom{15}{r} (x^4)^{15-r} \left(-x^{-3}\right)^r\)

\(T_{r+1} = \binom{15}{r} x^{4(15-r)} (-1)^r (x^{-3})^r\)

\(T_{r+1} = \binom{15}{r} x^{60-4r} (-1)^r x^{-3r}\)

\(T_{r+1} = \binom{15}{r} (-1)^r x^{60-4r-3r}\)

\(T_{r+1} = \binom{15}{r} (-1)^r x^{60-7r}\)

আমরা \(x^{32}\) এর সহগ নির্ণয় করতে চাই। এর জন্য, \(x\) এর ঘাতকে 32 এর সমান ধরতে হবে:

\(60 - 7r = 32\)

\(7r = 60 - 32\)

\(7r = 28\)

\(r = \frac{28}{7}\)

\(r = 4\)

এখন \(r=4\) মানটি \((r+1)\) তম পদের সহগ অংশে বসিয়ে পাই:

সহগ = \(\binom{15}{4} (-1)^4\)

সহগ = \(\binom{15}{4} \times 1\)

সহগ = \(\binom{15}{4}\)

আমরা \(\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\) সূত্র ব্যবহার করে মান নির্ণয় করি:

\(\binom{15}{4} = \frac{15!}{4!(15-4)!}\)

\(\binom{15}{4} = \frac{15!}{4!11!}\)

\(\binom{15}{4} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11!}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 11!}\)

\(\binom{15}{4} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1}\)

\(\binom{15}{4} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{24}\)

এখন গণনা করি:

\(\binom{15}{4} = 15 \times 14 \times 13 \times \frac{12}{24}\)

\(\binom{15}{4} = 15 \times 14 \times 13 \times \frac{1}{2}\)

\(\binom{15}{4} = 15 \times 7 \times 13\)

\(\binom{15}{4} = 105 \times 13\)

\(\binom{15}{4} = 1365\)

সুতরাং, \(x^{32}\) এর সহগ হলো 1365।