$x^4+x^2{y}^2+y=16, x-xy+y^2=4$ হলে $x^2+xy+y^2=$ কত? 

প্রদত্ত প্রশ্নে দুটি সমীকরণে সামান্য ভুল (Typo) পরিলক্ষিত হচ্ছে। সাধারণত, এই ধরনের গাণিতিক সমস্যাগুলো একটি নির্দিষ্ট বীজগাণিতিক সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করা হয়। অষ্টম শ্রেণির পাঠ্যক্রমের জন্য, প্রশ্নটি সম্ভবত নিম্নরূপ হওয়া উচিত:

প্রথম সমীকরণ: \(x^4+x^2y^2+y^4=16\)

দ্বিতীয় সমীকরণ: \(x^2-xy+y^2=4\)

এবং আমাদের \(x^2+xy+y^2\) এর মান নির্ণয় করতে হবে। আমরা এই সংশোধিত প্রশ্ন অনুযায়ী সমাধান করব, কারণ এটি প্রদত্ত অপশনগুলোর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং একটি আদর্শ গাণিতিক সমস্যার কাঠামো মেনে চলে।

বিস্তারিত সমাধান:

আমরা জানি একটি গুরুত্বপূর্ণ বীজগাণিতিক সূত্র হলো:

\(a^4+a^2b^2+b^4 = (a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)\)

এই সূত্রটি ব্যবহার করে আমরা সংশোধিত প্রথম সমীকরণটিকে লিখতে পারি:

\(x^4+x^2y^2+y^4 = (x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)\)

প্রশ্ন অনুযায়ী (সংশোধিত), আমাদের কাছে আছে:

\((x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2) = 16\)   (১)

এবং দ্বিতীয় সমীকরণটি হলো:

\(x^2-xy+y^2 = 4\)   (২)

এখন, সমীকরণ (২) থেকে \(x^2-xy+y^2\) এর মান সমীকরণ (১) এ বসিয়ে পাই:

\( (x^2+xy+y^2) \times 4 = 16 \)

উভয় পক্ষকে 4 দ্বারা ভাগ করে পাই:

\( x^2+xy+y^2 = \frac{16}{4} \)

\( x^2+xy+y^2 = 4 \)

সুতরাং, \(x^2+xy+y^2\) এর মান হবে 4।