y = 3x + 2, y=-3x+2 এবং y=-2 দ্বারা গঠিত, জ্যামিতিক চিত্রটি কী?

Created: 2 years ago | Updated: 3 days ago

Updated: 3 days ago

ক

সমবাহু ত্রিভুজ
খ

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
গ

বিষমবাহু ত্রিভুজ
ঘ

সমকোণী ত্রিভুজ

PSC DG Food – Office Assistant cum Computer Typist BCS 25th BCS Preli - 2004 13th BCS Preli - 1992 DOE Assistant Director/Research Officer - 2007 DG Food – Office Assistant cum Computer Typist - 2013 গণিত 2013 সরলরেখার সমীকরণ

498

ব্যাখ্যাঃ

প্রদত্ত তিনটি সরলরেখার সমীকরণ হলো:

$y = 3x + 2$
$y = -3x + 2$
$y = -2$

এই সরলরেখাগুলি দ্বারা গঠিত জ্যামিতিক চিত্রটি খুঁজে বের করার জন্য প্রথমে এদের ছেদবিন্দুগুলি নির্ণয় করতে হবে, যা ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হবে।

১. শীর্ষবিন্দু নির্ণয়:

প্রথম ও দ্বিতীয় রেখার ছেদবিন্দু:

দুটি সমীকরণকে সমান ধরে পাই:

$3x + 2 = -3x + 2$

$6x = 0$

$x = 0$

$x$ এর মান যেকোনো একটি সমীকরণে বসিয়ে $y$ এর মান পাই:

$y = 3(0) + 2 \Rightarrow y = 2$

প্রথম শীর্ষবিন্দু, A = $(0, 2)$

প্রথম ও তৃতীয় রেখার ছেদবিন্দু:

$y = 3x + 2$ এবং $y = -2$

$3x + 2 = -2$

$3x = -4$

$x = -\frac{4}{3}$

দ্বিতীয় শীর্ষবিন্দু, B = $(-\frac{4}{3}, -2)$

দ্বিতীয় ও তৃতীয় রেখার ছেদবিন্দু:

$y = -3x + 2$ এবং $y = -2$

$-3x + 2 = -2$

$-3x = -4$

$x = \frac{4}{3}$

তৃতীয় শীর্ষবিন্দু, C = $(\frac{4}{3}, -2)$

সুতরাং, ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি হলো A$(0, 2)$, B$(-\frac{4}{3}, -2)$ এবং C$(\frac{4}{3}, -2)$।

২. বাহুগুলির দৈর্ঘ্য নির্ণয়:

দূরত্বের সূত্র $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ ব্যবহার করে বাহুগুলির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি:

বাহু AB এর দৈর্ঘ্য: (A$(0, 2)$ এবং B$(-\frac{4}{3}, -2)$)

$AB = \sqrt{((-\frac{4}{3}) - 0)^2 + ((-2) - 2)^2}$

$AB = \sqrt{(-\frac{4}{3})^2 + (-4)^2}$

$AB = \sqrt{\frac{16}{9} + 16}$

$AB = \sqrt{\frac{16 + 144}{9}}$

$AB = \sqrt{\frac{160}{9}}$

$AB = \frac{\sqrt{16 \times 10}}{3} = \frac{4\sqrt{10}}{3}$

বাহু AC এর দৈর্ঘ্য: (A$(0, 2)$ এবং C$(\frac{4}{3}, -2)$)

$AC = \sqrt{(\frac{4}{3} - 0)^2 + ((-2) - 2)^2}$

$AC = \sqrt{(\frac{4}{3})^2 + (-4)^2}$

$AC = \sqrt{\frac{16}{9} + 16}$

$AC = \sqrt{\frac{16 + 144}{9}}$

$AC = \sqrt{\frac{160}{9}}$

$AC = \frac{\sqrt{16 \times 10}}{3} = \frac{4\sqrt{10}}{3}$

বাহু BC এর দৈর্ঘ্য: (B$(-\frac{4}{3}, -2)$ এবং C$(\frac{4}{3}, -2)$)

$BC = \sqrt{(\frac{4}{3} - (-\frac{4}{3}))^2 + ((-2) - (-2))^2}$

$BC = \sqrt{(\frac{4}{3} + \frac{4}{3})^2 + (0)^2}$

$BC = \sqrt{(\frac{8}{3})^2}$

$BC = \frac{8}{3}$

৩. ত্রিভুজের প্রকারভেদ:

আমরা পেয়েছি বাহুগুলির দৈর্ঘ্য:

$AB = \frac{4\sqrt{10}}{3}$
$AC = \frac{4\sqrt{10}}{3}$
$BC = \frac{8}{3}$

যেহেতু $AB = AC$ (অর্থাৎ, ত্রিভুজটির দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান), তাই ত্রিভুজটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ (Isosceles Triangle)।

৪. অন্যান্য অপশন কেন সঠিক নয়:

সমবাহু ত্রিভুজ (Equilateral Triangle): একটি সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি বাহুই সমান হয়। এখানে তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান নয় ($\frac{4\sqrt{10}}{3} \neq \frac{8}{3}$), তাই এটি সমবাহু ত্রিভুজ নয়।
বিষমবাহু ত্রিভুজ (Scalene Triangle): একটি বিষমবাহু ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যই ভিন্ন হয়। এখানে দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান ($AB = AC$), তাই এটি বিষমবাহু ত্রিভুজ নয়।
সমকোণী ত্রিভুজ (Right-angled Triangle): একটি সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রযোজ্য হয় (অর্থাৎ, বৃহত্তম বাহুর বর্গ অন্য দুটি বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান)। এখানে:
- $AB^2 = (\frac{4\sqrt{10}}{3})^2 = \frac{16 \times 10}{9} = \frac{160}{9}$
- $AC^2 = (\frac{4\sqrt{10}}{3})^2 = \frac{16 \times 10}{9} = \frac{160}{9}$
- $BC^2 = (\frac{8}{3})^2 = \frac{64}{9}$
আমরা দেখি যে, $\frac{160}{9} + \frac{64}{9} \neq \frac{160}{9}$ বা অন্য কোনো বাহুর বর্গের সমান নয়। সুতরাং, এটি সমকোণী ত্রিভুজ নয়। এছাড়াও, রেখাগুলির ঢাল দেখেও এটি বোঝা যায়। প্রথম রেখার ঢাল $m_1 = 3$, দ্বিতীয় রেখার ঢাল $m_2 = -3$, এবং তৃতীয় রেখার ঢাল $m_3 = 0$। যেহেতু কোনো দুটি ঢালের গুণফল $-1$ নয় ($m_1 m_2 = -9 \neq -1$, $m_1 m_3 = 0 \neq -1$, $m_2 m_3 = 0 \neq -1$), তাই কোনো কোণই সমকোণ নয়।

💡 শর্টকাট টেকনিক:

প্রদত্ত প্রথম দুটি সমীকরণ $y = 3x + 2$ এবং $y = -3x + 2$ লক্ষ্য করুন। এই দুটি সমীকরণ y-অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম (symmetric about the y-axis), কারণ তাদের ঢাল (slope) শুধু চিহ্নে ভিন্ন ($3$ এবং $-3$) এবং তারা একই y-ছেদবিন্দু $(0, 2)$ দিয়ে যায়।

তৃতীয় সমীকরণ $y = -2$ একটি অনুভূমিক সরলরেখা (horizontal line) যা x-অক্ষের সমান্তরাল।

যেহেতু ত্রিভুজের একটি শীর্ষবিন্দু A$(0,2)$ y-অক্ষের উপর অবস্থিত এবং ভূমি BC অনুভূমিক রেখা $y=-2$-এর উপর অবস্থিত, যার মধ্যবিন্দু ($x$-স্থানাঙ্ক $\frac{-\frac{4}{3} + \frac{4}{3}}{2} = 0$) y-অক্ষের উপরই অবস্থিত, তাই শীর্ষবিন্দু A থেকে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্ব y-অক্ষ বরাবর হবে এবং ভূমি BC কে সমদ্বিখণ্ডিত করবে। এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য। অতএব, এই ত্রিভুজটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হবে।

Najjar Hossain Raju

3 weeks ago

MCQ: 56 CQ: 19

Practice

সরলরেখার সমীকরণ

সরলরেখার সমীকরণ (Equation of Straight Line)

স্থানাংক জ্যামিতিতে কোনো সরলরেখার অবস্থানকে গাণিতিকভাবে প্রকাশ করার জন্য যে সমীকরণ ব্যবহৃত হয় তাকে সরলরেখার সমীকরণ বলা হয়।

সরলরেখার সাধারণ রূপ

$a x + b y + c = 0$

এখানে a, b এবং c ধ্রুবক এবং a ও b একসাথে শূন্য হবে না।

ঢাল-ছেদ রূপ (Slope-Intercept Form)

যদি কোনো সরলরেখার ঢাল m এবং y-অক্ষকে c বিন্দুতে ছেদ করে, তবে রেখার সমীকরণ হবে:

$y = m x + c$

এখানে,

m = রেখার ঢাল
c = y-অক্ষে ছেদক

উদাহরণ

যদি রেখার ঢাল 2 এবং y-অক্ষে ছেদক 3 হয়, তবে সমীকরণ:

$y = 2 x + 3$

এক বিন্দু ও ঢাল দ্বারা সরলরেখার সমীকরণ

যদি কোনো রেখা

$(x_{1}, y_{1})$

বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং রেখার ঢাল m হয়, তবে সমীকরণ:

$y - y_{1} = m (x - x_{1})$

উদাহরণ

রেখাটি যদি (2, 3) বিন্দু দিয়ে যায় এবং ঢাল 4 হয়, তবে

$y - 3 = 4 (x - 2)$

দুই বিন্দু দ্বারা সরলরেখার সমীকরণ

যদি একটি রেখা

$(x_{1}, y_{1})$

এবং

$(x_{2}, y_{2})$

দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে অতিক্রম করে, তবে সমীকরণ:

$\frac{y - y_{1}}{y_{2} - y_{1}} = \frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

উদাহরণ

রেখাটি যদি (1, 2) এবং (3, 6) বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়, তবে

$\frac{y - 2}{6 - 2} = \frac{x - 1}{3 - 1}$

অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা

x-অক্ষের সমান্তরাল রেখা

যদি কোনো রেখা x-অক্ষের সমান্তরাল হয়, তবে y এর মান ধ্রুবক হবে।

$y = k$

y-অক্ষের সমান্তরাল রেখা

যদি কোনো রেখা y-অক্ষের সমান্তরাল হয়, তবে x এর মান ধ্রুবক হবে।

$x = k$

ছেদক রূপ (Intercept Form)

যদি কোনো রেখা x-অক্ষকে a এককে এবং y-অক্ষকে b এককে ছেদ করে, তবে সমীকরণ:

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$

লম্ব রেখার শর্ত

দুটি রেখার ঢালের গুণফল −1 হলে রেখা দুটি পরস্পর লম্ব হয়।

$m_{1} m_{2} = - 1$

সমান্তরাল রেখার শর্ত

দুটি রেখার ঢাল সমান হলে রেখা দুটি পরস্পর সমান্তরাল হয়।

$m_{1} = m_{2}$

বিশেষ তথ্য

ঢাল ধনাত্মক হলে রেখা ঊর্ধ্বমুখী হয়
ঢাল ঋণাত্মক হলে রেখা নিম্নমুখী হয়
ঢাল শূন্য হলে রেখা অনুভূমিক হয়
ঢাল অসংজ্ঞায়িত হলে রেখা উল্লম্ব হয়

মনে রাখার উপায়

সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয়ে সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত সূত্র হলো:

$y - y_{1} = m (x - x_{1})$

এটিকে Point-Slope Form বলা হয়।

Notification

y = 3x + 2, y=-3x+2 এবং y=-2 দ্বারা গঠিত, জ্যামিতিক চিত্রটি কী?

১. শীর্ষবিন্দু নির্ণয়:

২. বাহুগুলির দৈর্ঘ্য নির্ণয়:

৩. ত্রিভুজের প্রকারভেদ:

৪. অন্যান্য অপশন কেন সঠিক নয়:

Related Question

Related Question

Question Analytics

Promotion