$Y = (A + B) (A' + B)$ এর সরলীকৃত ফলাফল কোনটি?

Created: 7 months ago | Updated: 7 months ago

Updated: 7 months ago

ক

$A + B$
খ

$A' + B'$
গ

$A X O R B$
ঘ

$A X N O R B$

RU RU C Unit তথ্য ও যোগাযোগ প্রযুক্তি 2026 বুলিয়ান উপপাদ্য

ব্যাখ্যাঃ

দেওয়া আছে, একটি বুলিয়ান এক্সপ্রেশন:

$Y = (A+B)(A'+B)$

এই এক্সপ্রেশনটিকে সরলীকরণ করতে আমরা বুলিয়ান অ্যালজেব্রার নিয়মাবলী ব্যবহার করব।

বিস্তারিত সমাধান:

ধাপ ১: ডিস্ট্রিবিউটিভ সূত্র প্রয়োগ করে এক্সপ্রেশনটিকে গুণ করুন।

$Y = A \cdot A' + A \cdot B + B \cdot A' + B \cdot B$

ধাপ ২: বুলিয়ান অ্যালজেব্রার মৌলিক নিয়মাবলী প্রয়োগ করুন:

পূরক নিয়ম (Complement Law): $A \cdot A' = 0$ (অর্থাৎ, একটি চলক এবং তার পূরকের গুণফল সর্বদা 0 হয়)।
অভেদ্যতা নিয়ম (Idempotent Law): $B \cdot B = B$ (অর্থাৎ, একটি চলককে নিজের সাথে গুণ করলে সেই চলকই থাকে)।

এই নিয়মগুলো প্রয়োগ করলে এক্সপ্রেশনটি দাঁড়ায়:

$Y = 0 + AB + A'B + B$

ধাপ ৩: এক্সপ্রেশনটিকে পুনরায় সাজিয়ে লিখুন এবং কমন (B) নিন।

$Y = AB + A'B + B$

প্রথম দুটি পদ থেকে $B$ কমন নিলে:

$Y = B(A + A') + B$

ধাপ ৪: আবার বুলিয়ান অ্যালজেব্রার পূরক নিয়ম প্রয়োগ করুন:

পূরক নিয়ম (Complement Law): $A + A' = 1$ (অর্থাৎ, একটি চলক এবং তার পূরকের যোগফল সর্বদা 1 হয়)।

এই নিয়মটি প্রয়োগ করলে:

$Y = B(1) + B$

ধাপ ৫: $X \cdot 1 = X$ এবং $X+X = X$ নিয়ম প্রয়োগ করুন।

$Y = B + B$

$Y = B$

সুতরাং, প্রদত্ত বুলিয়ান এক্সপ্রেশন $ (A+B)(A'+B) $ এর সরলীকৃত ফলাফল হলো $B$।

উল্লেখ্য, এক্সক্লুসিভ নর (XNOR) গেটের আউটপুট $AXNORB$ হলো $AB + A'B'$। এই এক্সপ্রেশনটি প্রদত্ত সরলীকৃত ফলাফলের সাথে এক নয়।

Satt AI

2 months ago

বুলিয়ান উপপাদ্য

আমাদের প্রচলিত এলজেবরার মতোই বুলিয়ান এলজেবরার বেশ কিছু উপপাদ্য রয়েছে। এর মাঝে পুরুত্বপূর্ণ কয়েকটি নিচে দেখানো হলো। বুলিয়ান এলজেবরা যেহেতু [0, 1] সেট দিয়ে তৈরি তাই চলকের (Variable) মান একবার 0 এবং আরেকবার 1 বসিয়ে এই উপপাদ্যগুলো খুবই সহজেই প্রমাণ করা যায়।

এখানে বেশ কিছু উপপাদ্য আমাদের পরিচিত এলজেবরার সাথে সম্পত্তিপূর্ণ আবার বেশ কিছু উপপাদ্যের পরিচিত উপপাদ্যের সাথে মিল নেই।

x.x = 0

উদাহরণ : বিভাজন উপপাछx + y2 = (x + y) (x + 2) টি প্রমাণ কর।

উত্তর : ডানদিক (x + y) (x + 2)

= xx + xz + yx + yz

= x + xz + yx + yz Idempotent x.x = x

= x(1+ z) + yx + yz

= x + yx + yz

Domination 1+ z = 1

= x(1 + y) + yz

= x + yz

Domination 1. 1 + y = 1

= বাম দিক (প্রমাণি)

উদাহরণ : ডি মরগানের উপপাদ্য দুটি প্রতি ক্ষেত্রের জন্য মান বসিয়ে প্রমাণ কর ।

উত্তর : এখানে যেহেতু x এবং y দুটি চলক রয়েছে, দুটিরই মান হওয়া সম্ভব 0 এবং 1 কাজেই সর্বমোট ২৭ বা চারটি ভিন্ন মান হওয়া সম্ভব। প্রত্যেকটির জন্য আলাদাভাবে দেখা যেতে পারে।

নিজে কর : বুলিয়ান এলজেবরার ভেতর কোন কোন উপপাদ্যগুলো আমাদের পরিচিত এলজেবরার উপপাদ্য থেকে ভিন্ন। (Hint : চলক x, y, z এর জন্য 0 এবং 1 -এর বাইরে কোনো মান বসানো হলে যেগুলো কাজ করে না সেগুলো পরিচিত এলজেবরার উপপাদ্য থেকে ভিন্ন।)

আমাদের পরিচিত সাধারণ এলজেবরায় আমরা যেরকম বেশ কিছু চলক ব্যবহার করে অন্য আরেকটি বড় এক্সপ্রেশন তৈরি করতে পারি, বুলিয়ান এলজেবরার বেলাতেও সেটা সত্যি। সাধারণ এলজেবরার মতো বুলিয়ান এলক্ষেরাতেও আমরা বুলিয়ান উপপাদ্যগুলো ব্যবহার করে সেগুলো অনেক সরল করে ফেলতে পারি। যেমন ধরা যাক x, y এবং z এই তিনটি চলক ব্যবহার করে নিচের এক্সপ্রেশনটি লেখা হয়েছে :

xyz + xy + x

এটাকে আমরা এভাবে সরল রুপ দিতে পারি :

xyz + xy + x = xy ( 2 + 1 ) + x = xy + x = x y + 1) = x

এটাকে সরল করার জন্য আমরা domination উপপাদ্য 2 + 1 = 1 এবং y + 1 = 1 ব্যবহার করেছি।

: xyz + x 77 + xyz + xyz এক্সপ্রেশনটিকে সরল করা।

: xyz + xyz + xyz + xyz

= xz(y + y) +xz (y+y)

= x2 + x 2 যেহেতু (y + y) = 1

= 2 (x + x)

= 2 যেহেতু (x + x) = 1

আমরা যখন ডিজিটাল ইলেকট্রনিক্সের শুরুতে নানা ধরনের পেট নিয়ে আলোচনা করব তখন দেখব বুলিয়ান এলজেবরার এভাবে একটি বড় এবং জটিল এক্সপ্রেশনকে সরল করতে পারলে একটি জটিল সার্কিটকে অনেক ছোট করে ফেলা যায়।