অবস্থান ভেক্টর কী? (জ্ঞানমূলক)

i^ x অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর অথাৎ এর মান 1

→        →

A এবং B  দুটি ভেক্টর এর মধ্যবর্তী কোণ 90° হলে অর্থাৎ এরা পরস্পর লম্ব হলে ভেক্টরদ্বয়ের ডট গুণণ 

→→

A. B  =AB cosx 

তাহলে i^.i^=|i^| |i^| cos0° =1*1*1=1 

অর্থাৎ i^.i^=1≠0 

একটি ভেক্টরের উপর অন্য একটি ভেক্টরের অভিক্ষেপ বলতে দ্বিতীয় ভেক্টরটির প্রথম ভেক্টরের দিকে উপাংশকে বোঝায়। গাণিতিকভাবে, \(\vec{A}\) বরাবর \(\vec{B}\) ভেক্টরের অভিক্ষেপ নির্ণয়ের সূত্র হলো: \(\text{Proj}_{\vec{A}} \vec{B} = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}|}\), যেখানে \(\vec{A} \cdot \vec{B}\) হলো ভেক্টরদ্বয়ের ডট গুণফল এবং \(|\vec{A}|\) হলো \(\vec{A}\) ভেক্টরের মান। এই অভিক্ষেপ একটি স্কেলার রাশি যা প্রথম ভেক্টরের দিকে দ্বিতীয় ভেক্টরের প্রভাব নির্দেশ করে।

উদ্দীপকে প্রদত্ত ভেক্টরগুলো হলো: \(\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}\) এবং \(\vec{B} = \hat{i} + 3\hat{j} + 7\hat{k}\)। প্রথমে, \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) এর ডট গুণফল নির্ণয় করা যাক: \(\vec{A} \cdot \vec{B} = (2)(1) + (3)(3) + (5)(7) = 2 + 9 + 35 = 46\)। এরপর, \(\vec{A}\) ভেক্টরের মান নির্ণয় করতে হবে: \(|\vec{A}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 9 + 25} = \sqrt{38}\)।

সুতরাং, \(\vec{A}\) বরাবর \(\vec{B}\) এর অভিক্ষেপ হবে: \(\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}|} = \frac{46}{\sqrt{38}}\)। এর মান আনুমানিক \(\frac{46}{6.164} \approx 7.462\)।

তিনটি ভেক্টর একই সমতলে (Coplanar) থাকার শর্ত হলো তাদের স্কেলার ট্রিপল গুণফল (Scalar Triple Product) শূন্য হতে হবে। অর্থাৎ, যদি \( \vec{A} \), \( \vec{B} \) এবং \( \vec{C} \) তিনটি ভেক্টর হয়, তবে তারা একই সমতলে থাকবে যদি \( \vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = 0 \) হয়। গাণিতিকভাবে, এটি তাদের উপাদানগুলির দ্বারা গঠিত নির্ণায়কের মান শূন্য হওয়ার সমান।

উদ্দীপকে প্রদত্ত ভেক্টর তিনটি হলো:

\( \vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k} \)

\( \vec{B} = \hat{i} + 3\hat{j} + 7\hat{k} \)

\( \vec{C} = \hat{i} + 7\hat{j} - \hat{k} \)

ভেক্টর তিনটি একই সমতলে আছে কিনা তা যাচাই করার জন্য তাদের উপাদানগুলির দ্বারা গঠিত নির্ণায়কের মান বের করতে হবে।

নির্ণায়কের মান হলো:

\( = 2 \left| \begin{matrix} 3 & 7 \\ 7 & -1 \end{matrix} \right| - 3 \left| \begin{matrix} 1 & 7 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right| + 5 \left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 1 & 7 \end{matrix} \right| \)

\( = 2((3)(-1) - (7)(7)) - 3((1)(-1) - (7)(1)) + 5((1)(7) - (3)(1)) \)

\( = 2(-3 - 49) - 3(-1 - 7) + 5(7 - 3) \)

\( = 2(-52) - 3(-8) + 5(4) \)

\( = -104 + 24 + 20 \)

\( = -104 + 44 \)

\( = -60 \)

যেহেতু ভেক্টর তিনটির স্কেলার ট্রিপল গুণফল (\( -60 \)) শূন্য নয়, তাই উদ্দীপকের ভেক্টর তিনটি একই সমতলে অবস্থিত নয়। যদি এই মান শূন্য হতো, তবে ভেক্টর তিনটি একই সমতলে থাকতো।