$\hat{i}.\hat{i}\ne 0$কেন? ব্যাখ্যা কর।

(অনুধাবন)

কোনো প্রসঙ্গ কাঠামোর মূলবিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টর দ্বারা প্রকাশ করা হয়, তাকে অবস্থান ভেক্টর (Position Vector) বলে।

একটি ভেক্টরের উপর অন্য একটি ভেক্টরের অভিক্ষেপ বলতে দ্বিতীয় ভেক্টরটির প্রথম ভেক্টরের দিকে উপাংশকে বোঝায়। গাণিতিকভাবে, \(\vec{A}\) বরাবর \(\vec{B}\) ভেক্টরের অভিক্ষেপ নির্ণয়ের সূত্র হলো: \(\text{Proj}_{\vec{A}} \vec{B} = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}|}\), যেখানে \(\vec{A} \cdot \vec{B}\) হলো ভেক্টরদ্বয়ের ডট গুণফল এবং \(|\vec{A}|\) হলো \(\vec{A}\) ভেক্টরের মান। এই অভিক্ষেপ একটি স্কেলার রাশি যা প্রথম ভেক্টরের দিকে দ্বিতীয় ভেক্টরের প্রভাব নির্দেশ করে।

উদ্দীপকে প্রদত্ত ভেক্টরগুলো হলো: \(\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}\) এবং \(\vec{B} = \hat{i} + 3\hat{j} + 7\hat{k}\)। প্রথমে, \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) এর ডট গুণফল নির্ণয় করা যাক: \(\vec{A} \cdot \vec{B} = (2)(1) + (3)(3) + (5)(7) = 2 + 9 + 35 = 46\)। এরপর, \(\vec{A}\) ভেক্টরের মান নির্ণয় করতে হবে: \(|\vec{A}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 9 + 25} = \sqrt{38}\)।

সুতরাং, \(\vec{A}\) বরাবর \(\vec{B}\) এর অভিক্ষেপ হবে: \(\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}|} = \frac{46}{\sqrt{38}}\)। এর মান আনুমানিক \(\frac{46}{6.164} \approx 7.462\)।

তিনটি ভেক্টর একই সমতলে (Coplanar) থাকার শর্ত হলো তাদের স্কেলার ট্রিপল গুণফল (Scalar Triple Product) শূন্য হতে হবে। অর্থাৎ, যদি \( \vec{A} \), \( \vec{B} \) এবং \( \vec{C} \) তিনটি ভেক্টর হয়, তবে তারা একই সমতলে থাকবে যদি \( \vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = 0 \) হয়। গাণিতিকভাবে, এটি তাদের উপাদানগুলির দ্বারা গঠিত নির্ণায়কের মান শূন্য হওয়ার সমান।

উদ্দীপকে প্রদত্ত ভেক্টর তিনটি হলো:

\( \vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k} \)

\( \vec{B} = \hat{i} + 3\hat{j} + 7\hat{k} \)

\( \vec{C} = \hat{i} + 7\hat{j} - \hat{k} \)

ভেক্টর তিনটি একই সমতলে আছে কিনা তা যাচাই করার জন্য তাদের উপাদানগুলির দ্বারা গঠিত নির্ণায়কের মান বের করতে হবে।

নির্ণায়কের মান হলো:

\( = 2 \left| \begin{matrix} 3 & 7 \\ 7 & -1 \end{matrix} \right| - 3 \left| \begin{matrix} 1 & 7 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right| + 5 \left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 1 & 7 \end{matrix} \right| \)

\( = 2((3)(-1) - (7)(7)) - 3((1)(-1) - (7)(1)) + 5((1)(7) - (3)(1)) \)

\( = 2(-3 - 49) - 3(-1 - 7) + 5(7 - 3) \)

\( = 2(-52) - 3(-8) + 5(4) \)

\( = -104 + 24 + 20 \)

\( = -104 + 44 \)

\( = -60 \)

যেহেতু ভেক্টর তিনটির স্কেলার ট্রিপল গুণফল (\( -60 \)) শূন্য নয়, তাই উদ্দীপকের ভেক্টর তিনটি একই সমতলে অবস্থিত নয়। যদি এই মান শূন্য হতো, তবে ভেক্টর তিনটি একই সমতলে থাকতো।