A→=2i^+3j^+5k^ B→=i^+3j^+7k^এবং C→=i^+7j^-k^ তিনটি ভেক্টর

এই উদ্দীপকটি এইচএসসি স্তরের পদার্থবিজ্ঞান সৃজনশীল প্রশ্নের জন্য তিনটি ভেক্টর রাশি প্রদান করে: A→=2i^+3j^+5k^, B→=i^+3j^+7k^ এবং C→=i^+7j^-k^। পরবর্তীতে এই ভেক্টরগুলি ব্যবহার করে ডট গুণফল, ক্রস গুণফল, মান নির্ণয়, ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ অথবা ভেক্টর যোগ/বিয়োগের মতো প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করা যেতে পারে।

$\vec{A} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 5 \hat{k}$
$\vec{B} = \hat{i} + 3 \hat{j} + 7 \hat{k}$
এবং $\vec{C} = \hat{i} + 7 \hat{j} - \hat{k}$ তিনটি ভেক্টর

Created: 1 year ago | Updated: 11 months ago

Updated: 11 months ago

519

(ক)

অবস্থান ভেক্টর কী?

উত্তরঃ

কোনো প্রসঙ্গ কাঠামোর মূলবিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টর দ্বারা প্রকাশ করা হয়, তাকে অবস্থান ভেক্টর (Position Vector) বলে।

Satt AI

1 week ago

(খ)

$\hat{i} . \hat{i} \neq 0$ কেন? ব্যাখ্যা কর।

উত্তরঃ

i^ x অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর অথাৎ এর মান 1

→ →

A এবং B দুটি ভেক্টর এর মধ্যবর্তী কোণ 90° হলে অর্থাৎ এরা পরস্পর লম্ব হলে ভেক্টরদ্বয়ের ডট গুণণ

→→

A. B =AB cosx

তাহলে i^.i^=|i^| |i^| cos0° =1*1*1=1

অর্থাৎ i^.i^=1≠0

Tasniha Lamiya

1 year ago

(গ)

$\vec{A}$ বরাবর $\vec{B}$ এর অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।

উত্তরঃ

একটি ভেক্টরের উপর অন্য একটি ভেক্টরের অভিক্ষেপ বলতে দ্বিতীয় ভেক্টরটির প্রথম ভেক্টরের দিকে উপাংশকে বোঝায়। গাণিতিকভাবে, $\vec{A}$ বরাবর $\vec{B}$ ভেক্টরের অভিক্ষেপ নির্ণয়ের সূত্র হলো: $\text{Proj}_{\vec{A}} \vec{B} = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}|}$, যেখানে $\vec{A} \cdot \vec{B}$ হলো ভেক্টরদ্বয়ের ডট গুণফল এবং $|\vec{A}|$ হলো $\vec{A}$ ভেক্টরের মান। এই অভিক্ষেপ একটি স্কেলার রাশি যা প্রথম ভেক্টরের দিকে দ্বিতীয় ভেক্টরের প্রভাব নির্দেশ করে।

উদ্দীপকে প্রদত্ত ভেক্টরগুলো হলো: $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$ এবং $\vec{B} = \hat{i} + 3\hat{j} + 7\hat{k}$। প্রথমে, $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এর ডট গুণফল নির্ণয় করা যাক: $\vec{A} \cdot \vec{B} = (2)(1) + (3)(3) + (5)(7) = 2 + 9 + 35 = 46$। এরপর, $\vec{A}$ ভেক্টরের মান নির্ণয় করতে হবে: $|\vec{A}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 9 + 25} = \sqrt{38}$।

সুতরাং, $\vec{A}$ বরাবর $\vec{B}$ এর অভিক্ষেপ হবে: $\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}|} = \frac{46}{\sqrt{38}}$। এর মান আনুমানিক $\frac{46}{6.164} \approx 7.462$।

Satt AI

1 week ago

(ঘ)

উদ্দীপকের ভেক্টর তিনটি একই সমতলে থাকবে কিনা—গাণিতিকভাবে যাচাই কর।

উত্তরঃ

তিনটি ভেক্টর একই সমতলে (Coplanar) থাকার শর্ত হলো তাদের স্কেলার ট্রিপল গুণফল (Scalar Triple Product) শূন্য হতে হবে। অর্থাৎ, যদি $ \vec{A} $, $ \vec{B} $ এবং $ \vec{C} $ তিনটি ভেক্টর হয়, তবে তারা একই সমতলে থাকবে যদি $ \vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = 0 $ হয়। গাণিতিকভাবে, এটি তাদের উপাদানগুলির দ্বারা গঠিত নির্ণায়কের মান শূন্য হওয়ার সমান।

উদ্দীপকে প্রদত্ত ভেক্টর তিনটি হলো:

$ \vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k} $

$ \vec{B} = \hat{i} + 3\hat{j} + 7\hat{k} $

$ \vec{C} = \hat{i} + 7\hat{j} - \hat{k} $

ভেক্টর তিনটি একই সমতলে আছে কিনা তা যাচাই করার জন্য তাদের উপাদানগুলির দ্বারা গঠিত নির্ণায়কের মান বের করতে হবে।

নির্ণায়কের মান হলো:

\[ \begin{vmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 3 & 7 \\ 1 & 7 & -1 \end{vmatrix} \]

$ = 2 \left| \begin{matrix} 3 & 7 \\ 7 & -1 \end{matrix} \right| - 3 \left| \begin{matrix} 1 & 7 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right| + 5 \left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 1 & 7 \end{matrix} \right| $

$ = 2((3)(-1) - (7)(7)) - 3((1)(-1) - (7)(1)) + 5((1)(7) - (3)(1)) $

$ = 2(-3 - 49) - 3(-1 - 7) + 5(7 - 3) $

$ = 2(-52) - 3(-8) + 5(4) $

$ = -104 + 24 + 20 $

$ = -104 + 44 $

$ = -60 $

যেহেতু ভেক্টর তিনটির স্কেলার ট্রিপল গুণফল ($ -60 $) শূন্য নয়, তাই উদ্দীপকের ভেক্টর তিনটি একই সমতলে অবস্থিত নয়। যদি এই মান শূন্য হতো, তবে ভেক্টর তিনটি একই সমতলে থাকতো।

Satt AI

1 week ago

519

MCQ: 539 CQ: 62

Practice

ভেক্টর

১.১ সূচনা

Introduction

বিজ্ঞানের বিভিন্ন বিষয় সুনির্দিষ্টভাবে জানতে হলে কোন বা কোন ধরনের পরিমাপের প্রয়োজন হয়। পদার্থের যে সব ভৌত বৈশিষ্ট্য পরিমাপ করা যায় তাদেরকে রাশি (quantity) বলে। যেমন, দৈর্ঘ্য, ভর, সময়, আয়তন, বেগ, কাজ ইত্যাদি প্রত্যেকে এক একটি রাশি। পদার্থবিজ্ঞানের অন্তর্গত যে কোন রাশিকে ভৌত (physical) রাশি বলে।

কিছু কিছু ভৌত রাশিকে শুধুমাত্র মান দ্বারা সম্পূর্ণরূপে প্রকাশ করা যায়। আবার অনেক ভৌত রাশি রয়েছে যাদেরকে সম্পূর্ণরূপে প্রকাশ করার জন্য মান ও দিক উভয়ই প্রয়োজন হয়। তাই ধর্ম বা বৈশিষ্ট্য অনুসারে ভৌত রাশিগুলোকে আমরা দুই ভাগে বিভক্ত করতে পারি ; যথা—

(ক) স্কেলার রাশি বা অদিক রাশি (Scalar quantity)।

(খ) ভেক্টর রাশি বা দিক রাশি বা সদিক রাশি (Vector quantity)।

(ক) স্কেলার রাশি :

যে সব ভৌত রাশির শুধু মান আছে, কিন্তু দিক নেই, তাদেরকে স্কেলার রাশি বা অদিক রাশি বলে। যেমন দৈর্ঘ্য, ভর, সময়, জনসংখ্যা, তাপমাত্রা, তাপ, বৈদ্যুতিক বিভব, দ্রুতি, কাজ ইত্যাদি কেলার বা অদিক রাশি।

(খ) ভেক্টর রাশি :

যে সব ভৌত রাশির মান এবং দিক দুই-ই আছে, তাদেরকে ভেক্টর রাশি বা দিক রাশি বলে। যেমন সরণ, বেগ, ত্বরণ, মন্দন, বল, ওজন ইত্যাদি ভেক্টর বা দিক রাশি।

১.২ ভেক্টর রাশির নির্দেশনা

Representation of a vector

কোন একটি ভেক্টর রাশিকে দুভাবে প্রকাশ করা হয়ে থাকে, যথা- (১) অক্ষর দ্বারা এবং (২) সরলরেখা দ্বারা।

১। অক্ষর দ্বারা কোন একটি ভেক্টর রাশিকে চারভাবে প্রকাশ করা হয়, যথা-

(ক) কোন অক্ষরের উপর তীর চিহ্ন দ্বারা রাশিটির ভেক্টর রূপ এবং এর দুই পাশের দুটি খাড়া রেখা দ্বারা এর মান নির্দেশ করা হয়। সাধারণভাবে শুধু অক্ষর দ্বারাও রাশিটির মান নির্দেশ করা হয়।

A অক্ষরের ভেক্টর রূপ Ā এবং মান রূপ | A | বা A

(খ) কোন অক্ষরের উপর রেখা চিহ্ন দ্বারা রাশিটির ভেক্টর রূপ এবং এর দুই পাশের দুটি খাড়া রেখ দ্বারা এর মান নির্দেশ করা হয়।

A অক্ষরের ভেক্টর রূপ Ā এবং মান রূপ । A

(গ) কোন অক্ষরের নিচে রেখা চিহ্ন দ্বারা রাশিটির ভেক্টর রূপ এবং এর দুই পাশের দুটি খাড়া রেখ দ্বারা এর মান নির্দেশ করা হয়।

A অক্ষরের ভেক্টর রূপ $A$ এবং মান রূপ | $A$ |

(ঘ) মোটা হরফের অক্ষর দিয়ে ভেক্টর রাশি প্রকাশ করা হয়। যেমন A অক্ষরের ভেক্টর রূপ $A$ এবং এর মান A ভেক্টর রাশি নির্দেশের ক্ষেত্রে (ক)-এ ব্যবহৃত চিহ্নই শ্রেয়। তাই এই বই-এ আমরা এই পদ্ধতিই ব্যবহার করব।

২। সরলরেখা দ্বারা ভেক্টর রাশি নির্দেশ করতে হলে রাশিটির দিকে বা সমান্তরালে একটি সরলরেখা অংকন করে সরলরেখাটির শেষ প্রান্তে একটি তীর চিহ্ন দ্বারা রাশিটির দিক এবং কোন স্কেলে উত্ত সরলরেখাটির দৈর্ঘ্য দ্বারা এর মান নির্দেশ করা হয়। এ পদ্ধতিকে জ্যামিতিক উপায়ে ভেক্টরের নির্দেশনাও বলে।

মনে করি, একটি ভেক্টর রাশির মান 5 এবং এর দিক পূর্ব দিক। একে সরলরেখা দ্বারা প্রকাশ করতে হবে। এখন AC একটি সরলরেখা পূর্ব- পশ্চিম দিক বরাবর অংকন করে AC সরলরেখা হতে সুবিধামত দৈর্ঘ্যকে একক ধরে এর 5 গুণ দৈর্ঘ্য AB কেটে নিই এবং AB-এর শেষ প্রান্তে পূর্ব দিকে তীর চিহ্ন যুক্ত করি [চিত্র ১:১]। এই তীর চিহ্নিত সরলরেখাই ভেক্টর রাশিটি নির্দেশ করবে। ভেক্টর রাশি নির্দেশী সরলরেখার তীর চিহ্নিত প্রান্ত B-কে শীর্ষবিন্দু বা অন্ত বিন্দু এবং অপর প্রান্ত A-কে আদিবিন্দু বা মূলবিন্দু বা পাদবিন্দু বলে।

শিক্ষকদের জন্য বিশেষভাবে তৈরি

১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!

শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

এখনই শুরু করুন ডেমো দেখুন

৫০,০০০+

শিক্ষক

৩০ লক্ষ+

প্রশ্নপত্র