ইমন বার্ষিক পরীক্ষার ফলাফল বিশ্লেষণ করতে গিয়ে দেখল বাংলা, ইংরেজি ও ICT বিষয়ে সে যথাক্রমে (5C)₁₆, (123)₈, (77)₁₀ নম্বর পেয়েছে।

২-এর পরিপূরক গঠনের প্রধান কারণ হলো বাইনারি বিয়োগ প্রক্রিয়াকে সরলীকরণ করা এবং একই বাইনারি যোগ বর্তনী (binary addition circuit) ব্যবহার করে যোগ ও বিয়োগ উভয় অপারেশন সম্পন্ন করা। এর ফলে কম্পিউটারের হার্ডওয়্যার ডিজাইন সহজ ও কার্যকরী হয়।

এই পদ্ধতিটি বিয়োগের জন্য আলাদা সার্কিটের (circuit) প্রয়োজনীয়তা দূর করে, কারণ এটি ঋণাত্মক সংখ্যাকে তার ধনাত্মক সংখ্যার ২-এর পরিপূরক রূপে প্রকাশ করে বিয়োগকে যোগে রূপান্তরিত করে। এর মাধ্যমে কম্পিউটার ধনাত্মক ও ঋণাত্মক উভয় সংখ্যার গাণিতিক প্রক্রিয়া (arithmetic operations) দক্ষতার সাথে পরিচালনা করতে পারে।

উদ্দীপকে 'Z' বন্ধুর ক্রয়কৃত বইয়ের মূল্য হেক্সাডেসিমেল সংখ্যা পদ্ধতিতে (A9)₁₆ টাকা উল্লেখ করা হয়েছে। এই হেক্সাডেসিমেল মূল্যকে ডেসিমেল সংখ্যায় রূপান্তর করার মাধ্যমে 'Z' এর ক্রয়কৃত বইয়ের প্রকৃত মূল্য নির্ণয় করা সম্ভব।

হেক্সাডেসিমেল সংখ্যাকে ডেসিমেল সংখ্যায় রূপান্তরের জন্য সংখ্যার প্রতিটি অঙ্কের সাথে তার নিজ নিজ স্থানীয় মান এবং হেক্সাডেসিমেল পদ্ধতির ভিত্তি ১৬-এর ঘাত গুণ করা হয়। ডানদিক থেকে শুরু করে স্থানীয় মানগুলো যথাক্রমে \(16^0\), \(16^1\), \(16^2\) ইত্যাদি হয়। হেক্সাডেসিমেল সিস্টেমে A থেকে F পর্যন্ত বর্ণগুলো ডেসিমেল 10 থেকে 15 এর সমতুল্য।

উদ্দীপকের তথ্যানুসারে, Z এর ক্রয়কৃত বইয়ের মূল্য (A9)₁₆ টাকা। এখানে, হেক্সাডেসিমেল 'A' এর ডেসিমেল মান 10 এবং '9' এর ডেসিমেল মান 9। সুতরাং, Z এর ক্রয়কৃত বইয়ের মূল্য ডেসিমেল পদ্ধতিতে হবে:
\( (A9)_{16} = (A \times 16^1) + (9 \times 16^0) \)
\( = (10 \times 16) + (9 \times 1) \)
\( = 160 + 9 \)
\( = 169 \)
অতএব, 'Z' এর ক্রয়কৃত বইয়ের মূল্য ডেসিমেল পদ্ধতিতে 169 টাকা।

উদ্দীপকের "ঘ" নং প্রশ্নে Y এর চেয়ে X বেশি মূল্যের বই কিনল কিনা তা পরিপূরক পদ্ধতি ব্যবহার করে বিশ্লেষণ করতে বলা হয়েছে। বাইনারি সিস্টেমে বিয়োগের কাজ যোগের মাধ্যমে সম্পন্ন করার জন্য ২'স পরিপূরক পদ্ধতি অত্যন্ত কার্যকর। এই পদ্ধতি ব্যবহার করে আমরা X এবং Y এর মূল্যের পার্থক্য নির্ণয় করে প্রদত্ত উক্তিটির সত্যতা যাচাই করব।

উদ্দীপকে X এবং Y এর বই কেনার মূল্য ভিন্ন ভিন্ন সংখ্যা পদ্ধতিতে দেওয়া আছে। প্রথমে তাদের মূল্যকে দশমিক সংখ্যায় রূপান্তর করে তুলনা করি এবং পরবর্তীতে ২'স পরিপূরক পদ্ধতির মাধ্যমে বিয়োগফল নির্ণয় করি।

    
• X এর বইয়ের মূল্য: (110110)₂
    
• দশমিক মানে রূপান্তর: \(1 \times 2^5 + 1 \times 2^4 + 0 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 0 \times 2^0 = 32 + 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = (54)_{10}\) টাকা।
    
• Y এর বইয়ের মূল্য: (36)₈
    
• দশমিক মানে রূপান্তর: \(3 \times 8^1 + 6 \times 8^0 = 24 + 6 = (30)_{10}\) টাকা।

দেখা যাচ্ছে, X এর মূল্য (54)₁₀ এবং Y এর মূল্য (30)₁₀। প্রাথমিক বিশ্লেষণে X এর মূল্য Y এর চেয়ে বেশি। এখন, এই পার্থক্যটি ২'স পরিপূরক পদ্ধতি ব্যবহার করে যাচাই করা হবে। এজন্য সংখ্যা দুটিকে ৮-বিট বাইনারি সংখ্যায় প্রকাশ করতে হবে।

    
• X = (54)₁₀ = (00110110)₂
    
• Y = (30)₁₀ = (00011110)₂

আমরা X - Y নির্ণয় করব, যা X + (-Y) এর সমতুল্য। এর জন্য Y এর ২'স পরিপূরক মান বের করতে হবে:

Y = 00011110

    
• Y এর ১'স পরিপূরক: 11100001 (সবগুলো বিট উল্টে দেওয়া হলো)
    
• Y এর ২'স পরিপূরক: 11100001 + 1 = 11100010

এখন X এর সাথে Y এর ২'স পরিপূরক যোগ করি:

  00110110 (X এর বাইনারি মান)
+ 11100010 (Y এর ২'স পরিপূরক মান)
----------
  (1) 00101000 (যোগফল)

যোগফল থেকে প্রাপ্ত নবম বিট বা ক্যরি বিট (1) বাতিল করা হয়। অবশিষ্ট ৮-বিট ফলাফল হলো (00101000)₂। এই ফলাফলের সবচেয়ে বামদিকের বিট বা চিহ্ন বিট (MSB) 0 হওয়ায় এটি একটি ধনাত্মক সংখ্যা নির্দেশ করে।

ফলাফল (00101000)₂ কে দশমিকে রূপান্তর করলে: \(0 \times 2^7 + 0 \times 2^6 + 1 \times 2^5 + 0 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 0 \times 2^0 = 0 + 0 + 16 + 0 + 8 + 0 + 0 + 0 = (24)_{10}\)।

পরিপূরক পদ্ধতিতে গণনা করে আমরা (24)₁₀ পেয়েছি, যা একটি ধনাত্মক মান। এর অর্থ হলো X - Y এর মান ধনাত্মক, অর্থাৎ X > Y। সুতরাং, "Y এর চেয়ে X বেশি মূল্যের বই কিনল" উক্তিটি সত্য এবং পরিপূরক পদ্ধতি ব্যবহারের মাধ্যমে তা প্রমাণিত হলো।

ডিকোডার এমন একটি লজিক সার্কিট, যা কোন কোড (Code)-কে ডিকোড (Decode) করতে পারে। এটি কম্পিউটারের বোধগম্য ভাষাকে মানুষের বোধগম্য ভাষায় রূপান্তর করে। অর্থাৎএনকোডার এর বিপরীত কে ডিকোডার বলে।