উক্ত মিশ্রণের তাপমাত্রায় লোকটি শরবত তৈরিতে 6 kg বরফ ব্যবহার করলে সম্পূর্ণ বরফ গলবে কি-না- গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।

দৈর্ঘ্য প্রসারণ সহগ (Linear Expansion Coefficient) একটি পদার্থের দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন ঘটানোর ক্ষমতা নির্দেশ করে যখন তা তাপমাত্রার পরিবর্তনের সম্মুখীন হয়। এটি একটি মৌলিক প্যারামিটার, যা উপাদানের তাপীয় সম্প্রসারণের প্রতিক্রিয়া মাপতে ব্যবহৃত হয়।

### সংজ্ঞা:
দৈর্ঘ্য প্রসারণ সহগ (\( \alpha \)) কে সাধারণত নিচের সূত্র দিয়ে সংজ্ঞায়িত করা হয়:

\[
\alpha = \frac{\Delta L}{L_0 \Delta T}
\]

এখানে:
- \( \Delta L \) = দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন (নতুন দৈর্ঘ্য - প্রাথমিক দৈর্ঘ্য)
- \( L_0 \) = প্রাথমিক দৈর্ঘ্য
- \( \Delta T \) = তাপমাত্রার পরিবর্তন (নতুন তাপমাত্রা - প্রাথমিক তাপমাত্রা)

ব্যাখ্যা:
- এই সহগের মান পদার্থের ধরনের উপর নির্ভর করে। উদাহরণস্বরূপ, ধাতব পদার্থ সাধারণত বেশি প্রসারণ সহগ রাখে, যা তাদের তাপমাত্রা পরিবর্তনের সাথে সাথে দ্রুত প্রসারিত বা সংকুচিত হয়।
- এর মান সাধারণত \( \text{°C}^{-1} \) বা \( \text{K}^{-1} \) (ডিগ্রি সেলসিয়াস বা কেলভিনের একক) হিসাবে প্রকাশ করা হয়।
- দৈর্ঘ্য প্রসারণ সহগ তাপীয় প্রকৌশল, নির্মাণ, এবং পদার্থবিজ্ঞানের বিভিন্ন ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে, যেমন: বিল্ডিং নির্মাণে, যন্ত্রপাতির ডিজাইনে, এবং তাপীয় সঞ্চালনে।

উদাহরণ:
ধরা যাক, একটি ধাতব রডের প্রাথমিক দৈর্ঘ্য 100 সেমি এবং তা 20°C থেকে 80°C তে উত্তপ্ত করা হয়, ফলে রডটির দৈর্ঘ্য 100.2 সেমি হয়ে যায়। তখন:
- \( \Delta L = 100.2 - 100 = 0.2 \) সেমি
- \( L_0 = 100 \) সেমি
- \( \Delta T = 80 - 20 = 60 \) °C

তাহলে:
\[
\alpha = \frac{0.2}{100 \times 60} = \frac{0.2}{6000} = \frac{1}{30000} \text{ °C}^{-1}
\]

এভাবে, দৈর্ঘ্য প্রসারণ সহগ একটি গুরুত্বপূর্ণ গুণাবলী যা পদার্থের তাপীয় আচরণ বুঝতে সাহায্য করে।