একজন শরবত বিক্রেতা গরমের সময় 15°C তাপমাত্রার শরবত তৈরির জন্য 35 °C তাপমাত্রার 20 kg পানিতে 0°C তাপমাত্রার কিছু পরিমাণ বরফ মিশায়। [বরফ গলনের আপেক্ষিক সুপ্ততাপ 3,36,000J kg ^-1  পানির আপেক্ষিক তাপ 4200 J kg^-1  K^-1]

দৈর্ঘ্য প্রসারণ সহগ (Linear Expansion Coefficient) একটি পদার্থের দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন ঘটানোর ক্ষমতা নির্দেশ করে যখন তা তাপমাত্রার পরিবর্তনের সম্মুখীন হয়। এটি একটি মৌলিক প্যারামিটার, যা উপাদানের তাপীয় সম্প্রসারণের প্রতিক্রিয়া মাপতে ব্যবহৃত হয়।

### সংজ্ঞা:
দৈর্ঘ্য প্রসারণ সহগ (\( \alpha \)) কে সাধারণত নিচের সূত্র দিয়ে সংজ্ঞায়িত করা হয়:

\[
\alpha = \frac{\Delta L}{L_0 \Delta T}
\]

এখানে:
- \( \Delta L \) = দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন (নতুন দৈর্ঘ্য - প্রাথমিক দৈর্ঘ্য)
- \( L_0 \) = প্রাথমিক দৈর্ঘ্য
- \( \Delta T \) = তাপমাত্রার পরিবর্তন (নতুন তাপমাত্রা - প্রাথমিক তাপমাত্রা)

ব্যাখ্যা:
- এই সহগের মান পদার্থের ধরনের উপর নির্ভর করে। উদাহরণস্বরূপ, ধাতব পদার্থ সাধারণত বেশি প্রসারণ সহগ রাখে, যা তাদের তাপমাত্রা পরিবর্তনের সাথে সাথে দ্রুত প্রসারিত বা সংকুচিত হয়।
- এর মান সাধারণত \( \text{°C}^{-1} \) বা \( \text{K}^{-1} \) (ডিগ্রি সেলসিয়াস বা কেলভিনের একক) হিসাবে প্রকাশ করা হয়।
- দৈর্ঘ্য প্রসারণ সহগ তাপীয় প্রকৌশল, নির্মাণ, এবং পদার্থবিজ্ঞানের বিভিন্ন ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে, যেমন: বিল্ডিং নির্মাণে, যন্ত্রপাতির ডিজাইনে, এবং তাপীয় সঞ্চালনে।

উদাহরণ:
ধরা যাক, একটি ধাতব রডের প্রাথমিক দৈর্ঘ্য 100 সেমি এবং তা 20°C থেকে 80°C তে উত্তপ্ত করা হয়, ফলে রডটির দৈর্ঘ্য 100.2 সেমি হয়ে যায়। তখন:
- \( \Delta L = 100.2 - 100 = 0.2 \) সেমি
- \( L_0 = 100 \) সেমি
- \( \Delta T = 80 - 20 = 60 \) °C

তাহলে:
\[
\alpha = \frac{0.2}{100 \times 60} = \frac{0.2}{6000} = \frac{1}{30000} \text{ °C}^{-1}
\]

এভাবে, দৈর্ঘ্য প্রসারণ সহগ একটি গুরুত্বপূর্ণ গুণাবলী যা পদার্থের তাপীয় আচরণ বুঝতে সাহায্য করে।

উদ্দীপকে বর্ণিত পরিস্থিতিতে শরবত তৈরির জন্য 35°C তাপমাত্রার 20 kg পানিকে 15°C তাপমাত্রায় আনতে যে পরিমাণ তাপ হারাবে, সেই তাপ 0°C তাপমাত্রার 6 kg বরফকে গলিয়ে এবং গলিত বরফের তাপমাত্রা 15°C-এ উন্নীত করতে প্রয়োজনীয় তাপের চেয়ে কম হলে সম্পূর্ণ বরফ গলবে না। তাপের সংরক্ষণ সূত্রানুসারে, গৃহিত তাপ = বর্জিত তাপ।

এখানে, পানি কর্তৃক বর্জিত তাপ, \(Q_{বর্জিত} = m_p c_p (T_p - T_f)\)

যেখানে,

    
• পানির ভর, \(m_p = 20 \text{ kg}\)
    
• পানির আপেক্ষিক তাপ, \(c_p = 4200 \text{ J kg}^{-1} \text{K}^{-1}\)
    
• পানির প্রাথমিক তাপমাত্রা, \(T_p = 35 \text{ °C}\)
    
• মিশ্রণের চূড়ান্ত তাপমাত্রা, \(T_f = 15 \text{ °C}\)

\(Q_{বর্জিত} = 20 \text{ kg} \times 4200 \text{ J kg}^{-1} \text{K}^{-1} \times (35 - 15) \text{ °C}\)

\(Q_{বর্জিত} = 20 \times 4200 \times 20 \text{ J}\)

\(Q_{বর্জিত} = 16,80,000 \text{ J}\)

অপরদিকে, 6 kg বরফকে প্রথমে 0°C তাপমাত্রায় গলাতে এবং তারপর গলিত বরফের তাপমাত্রা 15°C-এ উন্নীত করতে প্রয়োজনীয় মোট তাপ, \(Q_{গৃহিত} = Q_{গলন} + Q_{তাপ}\)

বরফ গলনের জন্য প্রয়োজনীয় তাপ, \(Q_{গলন} = m_ব L_f\)

যেখানে,

    
• বরফের ভর, \(m_ব = 6 \text{ kg}\)
    
• বরফ গলনের আপেক্ষিক সুপ্ততাপ, \(L_f = 3,36,000 \text{ J kg}^{-1}\)

\(Q_{গলন} = 6 \text{ kg} \times 3,36,000 \text{ J kg}^{-1}\)

\(Q_{গলন} = 20,16,000 \text{ J}\)

গলিত বরফের (পানি) তাপমাত্রা 0°C থেকে 15°C-এ উন্নীত করতে প্রয়োজনীয় তাপ, \(Q_{তাপ} = m_ব c_p (T_f - T_i)\)

যেখানে,

    
• বরফের প্রাথমিক তাপমাত্রা, \(T_i = 0 \text{ °C}\)

\(Q_{তাপ} = 6 \text{ kg} \times 4200 \text{ J kg}^{-1} \text{K}^{-1} \times (15 - 0) \text{ °C}\)

\(Q_{তাপ} = 6 \times 4200 \times 15 \text{ J}\)

\(Q_{তাপ} = 3,78,000 \text{ J}\)

অতএব, 6 kg বরফকে সম্পূর্ণরূপে গলিয়ে এবং তার তাপমাত্রা 15°C-এ উন্নীত করতে প্রয়োজনীয় মোট তাপ,

\(Q_{গৃহিত} = Q_{গলন} + Q_{তাপ} = 20,16,000 \text{ J} + 3,78,000 \text{ J}\)

\(Q_{গৃহিত} = 23,94,000 \text{ J}\)

যেহেতু, পানি কর্তৃক বর্জিত তাপ \(Q_{বর্জিত} = 16,80,000 \text{ J}\) এবং 6 kg বরফকে সম্পূর্ণরূপে গলিয়ে 15°C তাপমাত্রায় আনতে প্রয়োজনীয় তাপ \(Q_{গৃহিত} = 23,94,000 \text{ J}\) ।

দেখা যাচ্ছে যে, \(Q_{বর্জিত} < Q_{গৃহিত}\) অর্থাৎ, \(16,80,000 \text{ J} < 23,94,000 \text{ J}\)

সুতরাং, 35°C তাপমাত্রার 20 kg পানি 15°C তাপমাত্রায় নামতে যে পরিমাণ তাপ হারাবে, তা 6 kg বরফকে সম্পূর্ণরূপে গলিয়ে 15°C তাপমাত্রার মিশ্রণ তৈরি করার জন্য পর্যাপ্ত নয়। ফলে, উক্ত মিশ্রণের তাপমাত্রায় লোকটি 6 kg বরফ ব্যবহার করলে সম্পূর্ণ বরফ গলবে না।