উপগ্রহকে উল্লিখিত উচ্চতায় নিতে কৃতকাজ নির্ণয় কর। (প্রয়োগ)

পৃথিবীর পৃষ্ঠ হতে কোনো বস্তুকে গভীরে নিয়ে গেলে অভিকর্ষজ ত্বরণ (gravitational acceleration, g)-এর মান হ্রাস পায়। এর প্রধান কারণ হলো, বস্তুর উপর আকর্ষণকারী পৃথিবীর কার্যকর ভর (effective mass) হ্রাস পায়।

যখন কোনো বস্তুকে পৃথিবীর পৃষ্ঠ থেকে গভীরে নিয়ে যাওয়া হয়, তখন বস্তুটির চারপাশের সমস্ত ভর এটিকে আকর্ষণ করে। কিন্তু অভিকর্ষজ ত্বরণের গণনায় শুধুমাত্র বস্তুটির নিচের গোলাকার অংশের ভর কার্যকরভাবে আকর্ষণ করে। গভীরতা বৃদ্ধির সাথে সাথে বস্তুটির নিচে থাকা পৃথিবীর অংশের আয়তন ও ভর উভয়ই কমতে থাকে। ফলে বস্তুটির উপর পৃথিবীর মোট আকর্ষণ বল এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ g-এর মানও হ্রাস পায়। পৃথিবীর কেন্দ্রে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান শূন্য হয়।

ভূ-পৃষ্ঠ হতে কোনো কৃত্রিম উপগ্রহকে স্থির দেখানোর জন্য সেটিকে ভূ-স্থির উপগ্রহ (Geostationary satellite) হতে হয়। ভূ-স্থির উপগ্রহের কক্ষপথ অবশ্যই নিরক্ষীয় তলে থাকতে হবে এবং এর আবর্তনকাল পৃথিবীর নিজ অক্ষের উপর আবর্তনকালের (প্রায় ২৪ ঘণ্টা) সমান হতে হবে। অর্থাৎ, উপগ্রহটি পৃথিবীর সাথে একই কৌণিক বেগে আবর্তন করে। এই নির্দিষ্ট শর্তগুলো পূরণ করলেই কেবল উপগ্রহটিকে ভূ-পৃষ্ঠ হতে স্থির বলে মনে হবে।

উদ্দীপকে উল্লিখিত কৃত্রিম উপগ্রহটিকে ভূ-স্থির উপগ্রহের শর্ত পূরণ করে কিনা, তা গাণিতিকভাবে যাচাই করতে হবে। এর জন্য উপগ্রহটির কক্ষপথের আবর্তনকাল নির্ণয় করতে হবে এবং তা পৃথিবীর আবর্তনকালের সাথে তুলনা করতে হবে। উদ্দীপকে উপগ্রহের ভর, পৃথিবীর ভর, পৃথিবীর ব্যাসার্ধ এবং উপগ্রহের উচ্চতা দেওয়া আছে। এই উপাত্তগুলো ব্যবহার করে উপগ্রহটির কক্ষপথের আবর্তনকাল নির্ণয় করে ভূ-স্থির উপগ্রহের শর্ত পূরণ হয় কিনা, তা পরীক্ষা করা সম্ভব।

উদ্দীপক থেকে প্রাপ্ত উপাত্তসমূহ:

    
• বস্তুর ভর, \(m = 2500 \text{ kg}\)
    
• ভূ-পৃষ্ঠ হতে উচ্চতা, \(h = 4 \times 10^4 \text{ km} = 4 \times 10^7 \text{ m}\)
    
• পৃথিবীর ভর, \(M = 6 \times 10^{24} \text{ kg}\)
    
• পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, \(R = 6.4 \times 10^6 \text{ m}\)
    
• মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, \(G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}\)

উপগ্রহটির কক্ষপথের ব্যাসার্ধ, \(r = R + h = 6.4 \times 10^6 \text{ m} + 4 \times 10^7 \text{ m} = 46.4 \times 10^6 \text{ m} = 4.64 \times 10^7 \text{ m}\)

কেপলারের ৩য় সূত্রানুযায়ী উপগ্রহের আবর্তনকাল \(T\) এর সূত্র হলো:

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} \]

মান বসিয়ে পাই,

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{(4.64 \times 10^7 \text{ m})^3}{(6.67 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}) \times (6 \times 10^{24} \text{ kg})}} \]

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{9.9899 \times 10^{22}}{4.002 \times 10^{14}}} \]

\[ T = 2\pi\sqrt{2.4962 \times 10^8} \]

\[ T = 2\pi \times (1.580 \times 10^4) \text{ s} \]

\[ T \approx 9.927 \times 10^4 \text{ s} \]

আবর্তনকালকে ঘণ্টায় রূপান্তর করলে পাই:

\[ T = \frac{9.927 \times 10^4}{3600} \text{ ঘণ্টা} \]

\[ T \approx 27.57 \text{ ঘণ্টা} \]

আমরা জানি, ভূ-স্থির উপগ্রহের আবর্তনকাল পৃথিবীর আবর্তনকাল (২৪ ঘণ্টা) এর সমান হয়। উদ্দীপকের উপগ্রহটির আবর্তনকাল প্রায় ২৭.৫৭ ঘণ্টা, যা ২৪ ঘণ্টার সমান নয়। যেহেতু উপগ্রহটির আবর্তনকাল পৃথিবীর আবর্তনকালের সমান নয়, তাই এটি পৃথিবীর সাপেক্ষে স্থির থাকবে না এবং ভূ-পৃষ্ঠ হতে এটিকে স্থির বলে মনে হবে না। বরং এটিকে পৃথিবীর সাপেক্ষে পশ্চিম দিক থেকে পূর্ব দিকে ঘুরতে দেখা যাবে।