পৃথিবীর পৃষ্ঠ হতে কোন বস্তুকে গভীরে নিয়ে গেলে g এর মান হ্রাস পায় কেন? ব্যাখ্যা কর। (অনুধাবন)

ভূ-পৃষ্ঠ হতে উল্লিখিত উচ্চতায় কোনো বস্তুকে উঠাতে কৃতকাজ হলো বস্তুর অভিকর্ষীয় বিভব শক্তির পরিবর্তন। অভিকর্ষীয় বিভব শক্তির সূত্রানুযায়ী, যদি কোনো বস্তুকে পৃথিবীর পৃষ্ঠ থেকে \(h\) উচ্চতায় উঠানো হয়, তবে কৃতকাজ \(W = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right) = \frac{GMmh}{R(R+h)}\), যেখানে \(G\) মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, \(M\) পৃথিবীর ভর, \(m\) বস্তুর ভর, \(R\) পৃথিবীর ব্যাসার্ধ এবং \(h\) উচ্চতা।

উদ্দীপক হতে প্রাপ্ত মানসমূহ হলো: বস্তুর ভর \(m = 2500 \text{ kg}\), উচ্চতা \(h = 4 \times 10^4 \text{ km} = 4 \times 10^7 \text{ m}\), পৃথিবীর ভর \(M = 6 \times 10^{24} \text{ kg}\) এবং পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \(R = 6.4 \times 10^6 \text{ m}\)। আমরা জানি, মহাকর্ষীয় ধ্রুবক \(G = 6.673 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}\)। এই মানগুলো সূত্রে প্রতিস্থাপন করে পাই:

\[ W = \frac{(6.673 \times 10^{-11}) \times (6 \times 10^{24}) \times (2500) \times (4 \times 10^7)}{(6.4 \times 10^6) \times (6.4 \times 10^6 + 4 \times 10^7)} \] \[ W = \frac{4.0038 \times 10^{25}}{(6.4 \times 10^6) \times (46.4 \times 10^6)} \] \[ W = \frac{4.0038 \times 10^{25}}{296.96 \times 10^{12}} \] \[ W \approx 1.3489 \times 10^{11} \text{ J} \] অতএব, উপগ্রহটিকে উল্লিখিত উচ্চতায় নিতে প্রয়োজনীয় কৃতকাজের পরিমাণ হলো \(1.3489 \times 10^{11} \text{ Joule}\)।

ভূ-পৃষ্ঠ হতে কোনো কৃত্রিম উপগ্রহকে স্থির দেখানোর জন্য সেটিকে ভূ-স্থির উপগ্রহ (Geostationary satellite) হতে হয়। ভূ-স্থির উপগ্রহের কক্ষপথ অবশ্যই নিরক্ষীয় তলে থাকতে হবে এবং এর আবর্তনকাল পৃথিবীর নিজ অক্ষের উপর আবর্তনকালের (প্রায় ২৪ ঘণ্টা) সমান হতে হবে। অর্থাৎ, উপগ্রহটি পৃথিবীর সাথে একই কৌণিক বেগে আবর্তন করে। এই নির্দিষ্ট শর্তগুলো পূরণ করলেই কেবল উপগ্রহটিকে ভূ-পৃষ্ঠ হতে স্থির বলে মনে হবে।

উদ্দীপকে উল্লিখিত কৃত্রিম উপগ্রহটিকে ভূ-স্থির উপগ্রহের শর্ত পূরণ করে কিনা, তা গাণিতিকভাবে যাচাই করতে হবে। এর জন্য উপগ্রহটির কক্ষপথের আবর্তনকাল নির্ণয় করতে হবে এবং তা পৃথিবীর আবর্তনকালের সাথে তুলনা করতে হবে। উদ্দীপকে উপগ্রহের ভর, পৃথিবীর ভর, পৃথিবীর ব্যাসার্ধ এবং উপগ্রহের উচ্চতা দেওয়া আছে। এই উপাত্তগুলো ব্যবহার করে উপগ্রহটির কক্ষপথের আবর্তনকাল নির্ণয় করে ভূ-স্থির উপগ্রহের শর্ত পূরণ হয় কিনা, তা পরীক্ষা করা সম্ভব।

উদ্দীপক থেকে প্রাপ্ত উপাত্তসমূহ:

    
• বস্তুর ভর, \(m = 2500 \text{ kg}\)
    
• ভূ-পৃষ্ঠ হতে উচ্চতা, \(h = 4 \times 10^4 \text{ km} = 4 \times 10^7 \text{ m}\)
    
• পৃথিবীর ভর, \(M = 6 \times 10^{24} \text{ kg}\)
    
• পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, \(R = 6.4 \times 10^6 \text{ m}\)
    
• মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, \(G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}\)

উপগ্রহটির কক্ষপথের ব্যাসার্ধ, \(r = R + h = 6.4 \times 10^6 \text{ m} + 4 \times 10^7 \text{ m} = 46.4 \times 10^6 \text{ m} = 4.64 \times 10^7 \text{ m}\)

কেপলারের ৩য় সূত্রানুযায়ী উপগ্রহের আবর্তনকাল \(T\) এর সূত্র হলো:

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} \]

মান বসিয়ে পাই,

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{(4.64 \times 10^7 \text{ m})^3}{(6.67 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}) \times (6 \times 10^{24} \text{ kg})}} \]

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{9.9899 \times 10^{22}}{4.002 \times 10^{14}}} \]

\[ T = 2\pi\sqrt{2.4962 \times 10^8} \]

\[ T = 2\pi \times (1.580 \times 10^4) \text{ s} \]

\[ T \approx 9.927 \times 10^4 \text{ s} \]

আবর্তনকালকে ঘণ্টায় রূপান্তর করলে পাই:

\[ T = \frac{9.927 \times 10^4}{3600} \text{ ঘণ্টা} \]

\[ T \approx 27.57 \text{ ঘণ্টা} \]

আমরা জানি, ভূ-স্থির উপগ্রহের আবর্তনকাল পৃথিবীর আবর্তনকাল (২৪ ঘণ্টা) এর সমান হয়। উদ্দীপকের উপগ্রহটির আবর্তনকাল প্রায় ২৭.৫৭ ঘণ্টা, যা ২৪ ঘণ্টার সমান নয়। যেহেতু উপগ্রহটির আবর্তনকাল পৃথিবীর আবর্তনকালের সমান নয়, তাই এটি পৃথিবীর সাপেক্ষে স্থির থাকবে না এবং ভূ-পৃষ্ঠ হতে এটিকে স্থির বলে মনে হবে না। বরং এটিকে পৃথিবীর সাপেক্ষে পশ্চিম দিক থেকে পূর্ব দিকে ঘুরতে দেখা যাবে।