একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার এবং প্রস্থ ৩০ মিটার। বাগানের চারিদিকে ২ মিটার চওড়া রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?

ধরি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = l মিটার এবং প্রস্থ = w মিটার।

প্রশ্ন অনুযায়ী, উভয় ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১৩ মিটার। তাই আয়তক্ষেত্রের জন্য,

l² + w² = 13² = 169

আবার, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের চেয়ে ২৪.৫ বর্গমিটার বেশি।

বর্গক্ষেত্রের কর্ণও ১৩ মিটার, তাই বর্গক্ষেত্রের বাহু হবে

a = 13 / √2

অতএব, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

a² = (13²)/2 = 169/2 = 84.5 বর্গমিটার

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হবে

84.5 - 24.5 = 60 বর্গমিটার

অতএব,

l × w = 60

এখন আমাদের আছে দুইটি সমীকরণ:

1) l² + w² = 169
2) l × w = 60

এখন,

(l + w)² = l² + w² + 2lw

(l + w)² = 169 + 2×60 = 289

l + w = 17

এখন,

l + w = 17 এবং lw = 60

সুতরাং,

x² - 17x + 60 = 0

এটি বিশ্লেষণ করলে পাই,

(x - 12)(x - 5) = 0

অতএব, x = 12 বা x = 5

সুতরাং, আয়তক্ষেত্রের:

  
• দৈর্ঘ্য = 12 মিটার
  
• প্রস্থ = 5 মিটার

উত্তর: আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১২ মিটার এবং প্রস্থ ৫ মিটার।

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র দৈর্ঘ্য x প্রস্থ।

দেয়া আছে, রাস্তাবাদে বাগানের দৈর্ঘ্য = (৫০-২x) মিটার

$\therefore$রাস্তাবাদে বাগানের প্রস্থ = (৪০-২x) মিটার

প্রশ্নমতে, (৫০-২x)(৪০-২x)=১২০০

=২০০০-১০০x-৮০x+৪x^২=১২০০

=x^২-৪৫x+২০০=০

=x^২-৪০x-৫x+২০০=০

=x(x-৪০)-৫(x-৪০)=০

$\therefore$(x-৪০) (x-৫)=০

এখানে x=৪০ হতে পারে না কেননা, তা প্রস্থের সমান হয়ে যায়।

$\therefore$x=৫

আয়তাকার বাগানের পরিসীমা 

= ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার 

=২(৫০+৪০) মিটার

=২$\times$৯০ মিটার

=১৮০ মিটার

এখন, বর্গাকার ক্ষেত্রের একবাহু x হলে ৪x হলো তার পরিসীমা।

প্রশ্নমতে, ৪x = ১৮০

=x=$\frac{১৮০}{৪}=৪৫$

$\therefore$^x২=(৪৫)^২=২০২৫

অর্থ্যাৎ বর্গাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হবে ২০২৫ বর্গমিটার।

দেয়া আছে, বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য = ৫ ফুট

অতএব, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৫^২ = ২৫ ফুট 

অতএব, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ২৫ বর্গফুট

দেয়া আছে, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ৪ ফুট

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য= $\frac{২৫}{৪}=৬.২৫$ ফুট

Let, the length of the rectangle is x meter 

And the width of the rectangle is y meter

According to question,

$$\begin{gathered} 2y=x+10 ............ \left(i\right) \\ And xy=600 ....... \left(ii\right) \\ From equation \left(ii\right) \\ xy=600 \\ x=\frac{600}{y}...........\left(iii\right) \\ Putting the value of x in equation \left(i\right) \\ 2y=x+10 \\ \Rightarrow 2y=\frac{600}{y}+10 \\ \Rightarrow 2y^2-10y-600=0 \\ \Rightarrow y^2-5y-300=0 \left[Dividing both sides by 2\right] \\ \Rightarrow y^2-20y+15y-300=0 \\ \Rightarrow y\left(y-20\right)+15\left(y-20\right)=0 \\ \Rightarrow \left(y-20\right)\left(y+15\right)=0 \\ \therefore \left(y-20\right)\left(y+15\right)=0 \end{gathered}$$

Since width cannot be (-)ve. So we find y=20

That means the width of the rectangle is 20 meters

The length of the rectangle is $x=\frac{600}{y}$ 

$\therefore x=\frac{600}{20}=30$

The length of the rectangle is 30 meters.

 The perimeter of the rectangle = $2\times (30+20) = 2\times 50=100$ meters. 

ans. The perimeter is 100m.