একটি কাজ A 20 দিনে B 30 দিনে এবং C 60 দিনে করতে পারে। প্রথম দিন হতে প্রতি তৃতীয় দিনে B এবং প্রতি চতুর্থ দিনে C, A কে সাহায্য করলে ঐ কাজটি কতদিনে সম্পূর্ণ হবে?

প্রথমে, A, B এবং C এর একদিনের কাজের পরিমাণ নির্ণয় করি:

A এর ১ দিনের কাজ = \(\frac{1}{20}\) অংশ

B এর ১ দিনের কাজ = \(\frac{1}{30}\) অংশ

C এর ১ দিনের কাজ = \(\frac{1}{60}\) অংশ

সাহায্যের ধরন বিশ্লেষণ করি:

প্রথম দিন হতে প্রতি তৃতীয় দিনে B, A কে সাহায্য করে।

প্রথম দিন হতে প্রতি চতুর্থ দিনে C, A কে সাহায্য করে।

৩ এবং ৪ এর ল.সা.গু. হলো ১২। তাই, প্রতি ১২ দিনের একটি চক্র বিবেচনা করি। এই চক্রে কাজের বিন্যাস পুনরাবৃত্তি হবে।

১২ দিনের চক্রে কাজ করার বিন্যাস:

    
• B সাহায্য করে: ৩য়, ৬ষ্ঠ, ৯ম, ১২শ দিনে (৪ দিন)
    
• C সাহায্য করে: ৪র্থ, ৮ম, ১২শ দিনে (৩ দিন)

কাজ করার দিনগুলো আলাদাভাবে চিহ্নিত করি:

    
• A, B, C একসাথে কাজ করে (যেদিন B এবং C উভয়ই সাহায্য করে - ৩ ও ৪ এর ল.সা.গু. ১২ এর গুণিতক): ১২শ দিনে (১ দিন)
    
• A ও B একসাথে কাজ করে (যেদিন শুধু B সাহায্য করে, C নয়): ৩য়, ৬ষ্ঠ, ৯ম দিনে (৩ দিন)
    
• A ও C একসাথে কাজ করে (যেদিন শুধু C সাহায্য করে, B নয়): ৪র্থ, ৮ম দিনে (২ দিন)
    
• A একা কাজ করে (যেদিন কেউ সাহায্য করে না): ১২ - (১+৩+২) = ৬ দিন। (অর্থাৎ ১ম, ২য়, ৫ম, ৭ম, ১০ম, ১১শ দিনে)

১২ দিনের চক্রে মোট সম্পন্ন কাজ:

A এর একা ৬ দিনের কাজ = \(6 \times \frac{1}{20} = \frac{3}{10}\) অংশ

A ও B এর ৩ দিনের কাজ = \(3 \times (\frac{1}{20} + \frac{1}{30}) = 3 \times (\frac{3+2}{60}) = 3 \times \frac{5}{60} = 3 \times \frac{1}{12} = \frac{1}{4}\) অংশ

A ও C এর ২ দিনের কাজ = \(2 \times (\frac{1}{20} + \frac{1}{60}) = 2 \times (\frac{3+1}{60}) = 2 \times \frac{4}{60} = 2 \times \frac{1}{15} = \frac{2}{15}\) অংশ

A, B ও C এর ১ দিনের কাজ = \(1 \times (\frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{60}) = 1 \times (\frac{3+2+1}{60}) = 1 \times \frac{6}{60} = \frac{1}{10}\) অংশ

১২ দিনের চক্রে মোট সম্পন্ন কাজ = \(\frac{3}{10} + \frac{1}{4} + \frac{2}{15} + \frac{1}{10}\)

লসাগু (১০, ৪, ১৫, ১০) = ৬০

মোট সম্পন্ন কাজ = \(\frac{18}{60} + \frac{15}{60} + \frac{8}{60} + \frac{6}{60} = \frac{18+15+8+6}{60} = \frac{47}{60}\) অংশ

১২ দিন পর বাকি কাজ = \(1 - \frac{47}{60} = \frac{13}{60}\) অংশ

বাকি কাজ দিন ধরে হিসাব করি:

১৩শ দিন (চক্রের ১ম দিনের মতো): A একা কাজ করে।

১৩শ দিনে A এর কাজ = \(\frac{1}{20}\) অংশ

বাকি কাজ = \(\frac{13}{60} - \frac{1}{20} = \frac{13-3}{60} = \frac{10}{60} = \frac{1}{6}\) অংশ

মোট দিন = ১২ + ১ = ১৩ দিন

১৪শ দিন (চক্রের ২য় দিনের মতো): A একা কাজ করে।

১৪শ দিনে A এর কাজ = \(\frac{1}{20}\) অংশ

বাকি কাজ = \(\frac{1}{6} - \frac{1}{20} = \frac{10-3}{60} = \frac{7}{60}\) অংশ

মোট দিন = ১৩ + ১ = ১৪ দিন

১৫শ দিন (চক্রের ৩য় দিনের মতো): A ও B একসাথে কাজ করে।

১৫শ দিনে A ও B এর কাজ = \((\frac{1}{20} + \frac{1}{30}) = \frac{3+2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}\) অংশ

বাকি কাজ = \(\frac{7}{60} - \frac{1}{12} = \frac{7-5}{60} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30}\) অংশ

মোট দিন = ১৪ + ১ = ১৫ দিন

১৬শ দিন (চক্রের ৪র্থ দিনের মতো): A ও C একসাথে কাজ করবে।

A ও C এর ১ দিনের কাজ = \((\frac{1}{20} + \frac{1}{60}) = \frac{3+1}{60} = \frac{4}{60} = \frac{1}{15}\) অংশ

কাজ বাকি আছে \(\frac{1}{30}\) অংশ।

১৬শ দিনে বাকি কাজ শেষ করতে প্রয়োজনীয় সময় = \(\frac{\text{বাকি কাজ}}{\text{A ও C এর ১ দিনের কাজ}} = \frac{1/30}{1/15} = \frac{1}{30} \times 15 = \frac{1}{2}\) দিন

অতএব, মোট সময় = ১৫ দিন + \(\frac{1}{2}\) দিন = ১৫.৫ দিন