একটি কার 2.5ms^-2 সমত্বরণে স্থিরাবস্থা থেকে যাত্রা শুরু করল এবং একই সময়ে অপর একটি কার প্রথম কারটির 50m পিছন থেকে 63Kmh^-1 সমবেগে যাত্রা শুরু করল। 

 

দোলন গতিকে পর্যায়বৃত্ত গতি বলা হয় কারণ এটি একটি নির্দিষ্ট সময় অন্তর একটি নির্দিষ্ট বিন্দুকে কেন্দ্র করে একই পথে দিক পরিবর্তন করে বার বার চলে।

যে গতি একটি নির্দিষ্ট সময় পর পর একটি নির্দিষ্ট বিন্দুকে কেন্দ্র করে উভয় দিকে একই পথে চলাচল করে তাকে দোলন গতি (Oscillatory motion) বলে। অপরদিকে, যে গতি নির্দিষ্ট সময় পর পর একটি নির্দিষ্ট দিকে একটি নির্দিষ্ট পথ পুনরাবৃত্তি করে, তাকে পর্যায়বৃত্ত গতি (Periodic motion) বলে। যেহেতু দোলন গতিও একটি নির্দিষ্ট সময় পর পর একই পথের পুনরাবৃত্তি করে, তাই দোলন গতি একটি পর্যায়বৃত্ত গতি। তবে, সব পর্যায়বৃত্ত গতি দোলন গতি নয়।

উদ্দীপকে প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী, প্রথম কারটি স্থিরাবস্থা থেকে \(2.5 \text{ ms}^{-2}\) সমত্বরণে যাত্রা শুরু করে। একই সময়ে, দ্বিতীয় কারটি \(63 \text{ Kmh}^{-1}\) সমবেগে যাত্রা শুরু করে। যেহেতু দুটি কারের বেগ একই সময়ে একই হবে, তাই প্রথমে দ্বিতীয় কারটির বেগ আন্তর্জাতিক একক পদ্ধতিতে (মিটার/সেকেন্ড) রূপান্তর করা প্রয়োজন।

দ্বিতীয় কারটির সমবেগ, \(v_2 = 63 \text{ Kmh}^{-1}\)।
আমরা জানি, \(1 \text{ km} = 1000 \text{ m}\) এবং \(1 \text{ h} = 3600 \text{ s}\)।
সুতরাং, \(v_2 = 63 \times \frac{1000}{3600} \text{ ms}^{-1} = 63 \times \frac{5}{18} \text{ ms}^{-1} = 17.5 \text{ ms}^{-1}\)।
মনে করি, যাত্রা শুরুর \(t\) সময় পরে কার দুইটির বেগ একই হবে।
\(t\) সময় পরে প্রথম কারটির বেগ, \(v_1 = u_1 + a_1 t\)
এখানে, প্রথম কারটির আদিবেগ \(u_1 = 0 \text{ ms}^{-1}\) (স্থিরাবস্থা থেকে) এবং ত্বরণ \(a_1 = 2.5 \text{ ms}^{-2}\)।
অতএব, \(v_1 = 0 + 2.5t = 2.5t \text{ ms}^{-1}\)।
প্রশ্নানুসারে, যখন কার দুইটির বেগ একই হবে, তখন \(v_1 = v_2\)।
\(2.5t = 17.5\)
\(t = \frac{17.5}{2.5}\)
\(t = 7 \text{ s}\)

সুতরাং, যাত্রা শুরুর 7 সেকেন্ড পরে কার দুইটির বেগ একই হবে। এই সময়ে প্রথম কারটির বেগ বৃদ্ধি পেয়ে দ্বিতীয় কারটির ধ্রুব বেগের সমান হবে, যখন উভয় কারের বেগই \(17.5 \text{ ms}^{-1}\) হবে।

উদ্দীপকে দুটি গাড়ির গতিপথের বর্ণনা দেওয়া হয়েছে এবং প্রশ্ন করা হয়েছে যে গাড়ি দুটি তাদের চলার পথে একবারের বেশি একে অপরকে অতিক্রম করবে কিনা। এই বিষয়টি গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করতে হলে তাদের অবস্থানের সমীকরণ নির্ণয় করে ছেদবিন্দুগুলো খুঁজে বের করতে হবে। যদি ছেদবিন্দুর সংখ্যা একাধিক হয়, তবে গাড়িগুলো একাধিকবার অতিক্রম করবে।

প্রথম গাড়িটির ক্ষেত্রে:

স্থিরাবস্থা থেকে যাত্রা শুরু করায়, আদিবেগ (u) = 0 m/s

ত্বরণ (a) = 2.5 m/s^-2

ধরি, প্রথম গাড়িটি মূলবিন্দু (0m) থেকে যাত্রা শুরু করেছে। তাহলে, t সময়ে এর অতিক্রান্ত দূরত্ব, \(s_1 = ut + \frac{1}{2}at^2\)

\(s_1 = (0)t + \frac{1}{2}(2.5)t^2\)

\(s_1 = 1.25t^2\)

দ্বিতীয় গাড়িটির ক্ষেত্রে:

প্রথম গাড়িটির 50m পিছন থেকে যাত্রা শুরু করায়, আদি অবস্থান = -50m

সমবেগ (v) = 63 Kmh^-1

প্রথমে বেগকে m/s এককে রূপান্তর করতে হবে:

\(v = 63 \times \frac{1000}{3600} \text{ m/s} = 17.5 \text{ m/s}\)

তাহলে, t সময়ে দ্বিতীয় গাড়িটির অবস্থান, \(s_2 = -50 + vt\)

\(s_2 = -50 + 17.5t\)

যখন গাড়ি দুটি একে অপরকে অতিক্রম করবে, তখন তাদের অবস্থান সমান হবে, অর্থাৎ \(s_1 = s_2\)।

\(1.25t^2 = -50 + 17.5t\)

সমীকরণটিকে সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণের রূপে সাজাই:

\(1.25t^2 - 17.5t + 50 = 0\)

এই দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করে t এর মান নির্ণয় করি:

\(t = \frac{-(-17.5) \pm \sqrt{(-17.5)^2 - 4(1.25)(50)}}{2(1.25)}\)

\(t = \frac{17.5 \pm \sqrt{306.25 - 250}}{2.5}\)

\(t = \frac{17.5 \pm \sqrt{56.25}}{2.5}\)

\(t = \frac{17.5 \pm 7.5}{2.5}\)

আমরা t এর দুটি ধনাত্মক মান পাই:

\(t_1 = \frac{17.5 - 7.5}{2.5} = \frac{10}{2.5} = 4 \text{ s}\)

\(t_2 = \frac{17.5 + 7.5}{2.5} = \frac{25}{2.5} = 10 \text{ s}\)

যেহেতু t এর দুটি ভিন্ন ও ধনাত্মক মান পাওয়া গেছে, এর অর্থ হলো গাড়ি দুটি তাদের চলার পথে দুইবার একে অপরকে অতিক্রম করবে। প্রথমবার 4 সেকেন্ড পর এবং দ্বিতীয়বার 10 সেকেন্ড পর। প্রথমে ধীর গতিতে যাত্রা করা প্রথম গাড়িটিকে দ্বিতীয় গাড়িটি অতিক্রম করে এগিয়ে যাবে, কিন্তু প্রথম গাড়িটির ত্বরণ থাকায় এর বেগ ক্রমশ বৃদ্ধি পেতে থাকবে। এক পর্যায়ে প্রথম গাড়ির বেগ দ্বিতীয় গাড়ির বেগের সমান এবং পরে বেশি হবে, যার ফলে প্রথম গাড়িটি দ্বিতীয়বার দ্বিতীয় গাড়িটিকে অতিক্রম করবে। সুতরাং, গাড়ি দুটি তাদের চলার পথে একবারের অধিক একে অপরকে অতিক্রম করবে।