একটি ত্রিভুজের তিনদিছ। রাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 4 সে. মি. 5সে.মি. ও 6 সে. মি.।

মনে করি, কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a = 4 সে. মি., b = 5 সে. মি. এবং c = 6 সে. মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কন:

১. যেকোনো রশ্মি BE থেকে c এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে BC অংশ কেটে নিই।

২. BC রেখাংশের B ও C বিন্দুতে যথাক্রমে a ও b এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে B ও C এর একই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপ দুইটি পরস্পর এ বিন্দুতে ছেদ করেছে।

৩. A, B ও A, C যোগ করি। তাহলে, △ ABC-ই নির্ণেয়, ত্রিভুজ।

মনে করি, কোনো ত্রিভুজ ABC এর তিনটি বাহু AB = 4 সে. মি., AC = 5 সে. মি. এবং BC = 6 সে. মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজের পরিবৃত্ত অঙ্কন করতে হবে।

অঙ্কন:

১. BC বাহুর লম্বদ্বিখন্ডক PQ এবং AC বাহুর লম্বদ্বিখন্ডক LM অঙ্কন করি। PQ ও LM পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করে।

২ এখন, O কে কেন্দ্র করে OC' বা OB বা OA এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আঁকি। বৃত্তটি A, B, C বিন্দু দিয়ে যাবে।

তাহলে নির্ণেয় বৃত্তটি ABC ত্রিভুজের পরিবৃত্ত।

প্রমাণ : BC এর লম্বদ্বিখন্ডক বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।

$\therefore$ OB = OC

আবার, AC এর লম্বদ্বিখন্ডক LM এর উপর O বিন্দু অবস্থিত।

$\therefore$ OC=OA

সুতরাং OB = OC = OA

অতএব, O কে কেন্দ্র করে এবং OB ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকলে তা A. B, C বিন্দু দিয়ে যাবে!

সুতরাং অঙ্কিত বৃত্তটিই △ ABC এর পরিবৃত্ত।

মনে করি, খ-এ অঙ্কিত পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ OA এর সমান ব্যাসার্ধবিশিষ্ট ATU একটি বৃত্ত। বৃত্তটির বাইরে R যেকোনো একটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং RA ও RT' রশ্মিন্বয় পরিবৃত্তের A ও T বিন্দুতে দুইটি স্পর্শক। প্রমাণ করতে হবে যে, RA = RT.

অঙ্কন: O, R যোগ করি।

প্রমাণ:

ধাপ ১. যেহেতু RA স্পর্শক এবং OA স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ, সেহেতু RA$\perp$OA [স্পর্শক স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর লম্ব ]

$\therefore$ ∠RAO = এক সমকোণ

অনুরূপভাবে, ∠RTO = এক সমকোণ

ধাপ ২. এখন, △RAO  ও △RTO

সমকোণী ত্রিভুজয়ে,

অতিভুজ OR = অতিভুজ OR এবং  OA = OT [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

$\therefore$ △RAO $\equiv$ △RED [সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা ]

$\therefore$ RA = RT. (দেখানো হলো)