একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 26 মি., 28 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 182 বর্গমিটার হলে, বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় কর। (সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

মনে করি, ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

এর অতিভুজ AC = 25 মিটার

ধরি, AB = x মি.

∴ $BC =\frac{3x}{4}$ মি. [শর্তমতে]

ABC সমকোণী ত্রিভুজে,

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$

বা, $(25{)}^2=x^2+{\left(\frac{3x}{4}\right)}^2$

বা, $625=x^2+\frac{9x^2}{16}$

বা, $625=\frac{16x^2+9x^2}{16}$

বা, $625\times 16=25x^2$

বা, $=\frac{625\times 16}{25}=x^2$

বা, $x^2=25x\times 16$

বা,$x=\sqrt{5^2\times 4^2}$

∴ x = 20

∴ AB = 20 মিটার

এবং $BC =20\times \frac{3}{4}$ = 15 মিটার

∴ বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 20 মিটার ও 15 মিটার।

মনে করি, AC মইয়ের গোড়া C থেকে D বিন্দুতে সরালে ওপরের প্রান্ত A থেকে B বিন্দুতে নামবে।

মইয়ের দৈর্ঘ্য BD = 20 মি. এবং AB = 4 মি.

∴ BC=AC-AB = (20-4) মিটার= 16 মিটার

এখন, $B{C}^2+C{D}^2=B{D}^2$

বা, $C{D}^2=B{D}^2-B{C}^2$

$=(20{)}^2-(16{)}^2=400-256=144$

বা, $CD = \sqrt{144} = 12$

∴ CD = 12

∴ দেওয়াল থেকে মইয়ের গোড়ার দূরত্ব 12 মিটার।

মনে করি, ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এবং এর ভূমি x মিটার।

∴ অপর দুই বাহু $AB = AC =\frac{5x}{6}$

প্রশ্নমতে, $x+\frac{5x}{6}+\frac{5x}{6}=16$

বা, 6x + 5x + 5x = 96[6 দ্বারা গুণ করে]

বা, 16x = 96

বা, $x= \frac{96}{16}=6$

অতএব, BC= 6 মিটার

যেহেতু BC = 6 মিটার

$AB = AC = \frac{5\times 6}{6}$মি.

ধরি, a = 5 মি., b = 6 মি.

△-ক্ষেত্র ABC-এর ক্ষেত্রফল $=\frac{b}{4}\sqrt{4a^2-b^2}=\frac{6}{4}\sqrt{4\times 5^2-6^2}$

$=\frac{6}{4}\times 8 =12$ বর্গমিটার

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 12 বর্গমিটার।

মনে করি, ত্রিভুজের অপর বাহু c

দেওয়া আছে, ত্রিভুজটির বাহু দুইটির

দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a= 25 সে.মি.

এবং b =27 সে.মি.

ত্রিভুজটির পরিসীমা, 2s = 84 সে.মি.

বা, $s=\frac{84}{2}$ সে.মি.

= 42 সে.মি.

এখন, ত্রিভুজের পরিসীমা, 2s = a + b + c

বা, 84 = 25 + 27 + c = 52 + c

বা, c = 84 - 52

∴ c =32 সে. মি.

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $=\sqrt{s\sqrt{(s - a)(s - b)(s - c)}}$বর্গ সে.মি.

$= \sqrt{42(42 - 25)(42 - 27)(42 - 32)}$

$=\sqrt{42 \times 17 \times 15 \times 10}$বর্গ সে.মি.

$= \sqrt{107100}$বর্গ সে.মি. = 327.26 বর্গ সে.মি. (প্রায়)

নির্ণেয় ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 327.26 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

মনে করি, সমবাহু ত্রিভুজটির প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার

∴ সমবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}{a}^2}{4}$বর্গমিটার

প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে, বাহুর দৈর্ঘ্য (a + 2) মিটার।

∴ ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}(a+2{)}^2}{4}$বর্গমিটার

$=\frac{\sqrt{3}(a^2+4a+4)}{4}$বর্গমিটার

প্রশ্নমতে, $\frac{\sqrt{3}(a^2+4a+4)}{4}=\frac{\sqrt{3}{a}^2}{4}+6\sqrt{3}$

বা, $\sqrt{3}(a^2+4a+4)=\sqrt{3}{a}^2+24\sqrt{3}$[4 দ্বারা গুণ করে]

বা, $a^2+4a+4=a^2+24$

বা, $a^2-a^2+4a=24-4$

বা, 4a = 20

∴ a = 5

∴ ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য 5 মিটার।

মনে করি, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a = 10 মিটার, ভূমির দৈর্ঘ্য = b মিটার

∴ সমন্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{b}{4}\sqrt{4a^2-b^2}$

প্রশ্নানুসারে, $\frac{b}{4}\sqrt{4a^2-b^2}=48$

বা, $\frac{b}{4}\sqrt{{\left(10\right)}^2-b^2}=48$

বা, $\frac{b}{4}\sqrt{4\times 100-b^2}=48$

বা, $\frac{b}{4}\sqrt{400-b^2}=48$

বা, $b\sqrt{400-b^2}=192$

বা, ${\left(b\sqrt{400-b^2}\right)}^2=(192{)}^2$

বা, $b^2(400-b^2)=36864$

বা,  $400b^2-b^4=36864$

বা, $b^4-400b^2+36864=0$

বা, $b^4-144b^2-256b^2+36864=0$

বা, $b^2(b^2-144)-256(b^2-144)=0$

বা, $(b^2-144)(b^2-256)=0$

∴ $b^2-144=0$

বা, $b^2=144$

∴ b = 12

অথবা,

$b^2-256=0$

বা, $b^2=256$

বা, b = 16

নির্ণেয় ভূমির দৈর্ঘ্য 12 মিটার বা 16 মিটার।