সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন

মনে করি, ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

এর অতিভুজ AC = 25 মিটার

ধরি, AB = x মি.

∴ $BC =\frac{3x}{4}$ মি. [শর্তমতে]

ABC সমকোণী ত্রিভুজে,

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$

বা, $(25{)}^2=x^2+{\left(\frac{3x}{4}\right)}^2$

বা, $625=x^2+\frac{9x^2}{16}$

বা, $625=\frac{16x^2+9x^2}{16}$

বা, $625\times 16=25x^2$

বা, $=\frac{625\times 16}{25}=x^2$

বা, $x^2=25x\times 16$

বা,$x=\sqrt{5^2\times 4^2}$

∴ x = 20

∴ AB = 20 মিটার

এবং $BC =20\times \frac{3}{4}$ = 15 মিটার

∴ বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 20 মিটার ও 15 মিটার।

মনে করি, AC মইয়ের গোড়া C থেকে D বিন্দুতে সরালে ওপরের প্রান্ত A থেকে B বিন্দুতে নামবে।

মইয়ের দৈর্ঘ্য BD = 20 মি. এবং AB = 4 মি.

∴ BC=AC-AB = (20-4) মিটার= 16 মিটার

এখন, $B{C}^2+C{D}^2=B{D}^2$

বা, $C{D}^2=B{D}^2-B{C}^2$

$=(20{)}^2-(16{)}^2=400-256=144$

বা, $CD = \sqrt{144} = 12$

∴ CD = 12

∴ দেওয়াল থেকে মইয়ের গোড়ার দূরত্ব 12 মিটার।

মনে করি, ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এবং এর ভূমি x মিটার।

∴ অপর দুই বাহু $AB = AC =\frac{5x}{6}$

প্রশ্নমতে, $x+\frac{5x}{6}+\frac{5x}{6}=16$

বা, 6x + 5x + 5x = 96[6 দ্বারা গুণ করে]

বা, 16x = 96

বা, $x= \frac{96}{16}=6$

অতএব, BC= 6 মিটার

যেহেতু BC = 6 মিটার

$AB = AC = \frac{5\times 6}{6}$মি.

ধরি, a = 5 মি., b = 6 মি.

△-ক্ষেত্র ABC-এর ক্ষেত্রফল $=\frac{b}{4}\sqrt{4a^2-b^2}=\frac{6}{4}\sqrt{4\times 5^2-6^2}$

$=\frac{6}{4}\times 8 =12$ বর্গমিটার

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 12 বর্গমিটার।

মনে করি, ত্রিভুজের অপর বাহু c

দেওয়া আছে, ত্রিভুজটির বাহু দুইটির

দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a= 25 সে.মি.

এবং b =27 সে.মি.

ত্রিভুজটির পরিসীমা, 2s = 84 সে.মি.

বা, $s=\frac{84}{2}$ সে.মি.

= 42 সে.মি.

এখন, ত্রিভুজের পরিসীমা, 2s = a + b + c

বা, 84 = 25 + 27 + c = 52 + c

বা, c = 84 - 52

∴ c =32 সে. মি.

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $=\sqrt{s\sqrt{(s - a)(s - b)(s - c)}}$বর্গ সে.মি.

$= \sqrt{42(42 - 25)(42 - 27)(42 - 32)}$

$=\sqrt{42 \times 17 \times 15 \times 10}$বর্গ সে.মি.

$= \sqrt{107100}$বর্গ সে.মি. = 327.26 বর্গ সে.মি. (প্রায়)

নির্ণেয় ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 327.26 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

মনে করি, সমবাহু ত্রিভুজটির প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার

∴ সমবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}{a}^2}{4}$বর্গমিটার

প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে, বাহুর দৈর্ঘ্য (a + 2) মিটার।

∴ ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}(a+2{)}^2}{4}$বর্গমিটার

$=\frac{\sqrt{3}(a^2+4a+4)}{4}$বর্গমিটার

প্রশ্নমতে, $\frac{\sqrt{3}(a^2+4a+4)}{4}=\frac{\sqrt{3}{a}^2}{4}+6\sqrt{3}$

বা, $\sqrt{3}(a^2+4a+4)=\sqrt{3}{a}^2+24\sqrt{3}$[4 দ্বারা গুণ করে]

বা, $a^2+4a+4=a^2+24$

বা, $a^2-a^2+4a=24-4$

বা, 4a = 20

∴ a = 5

∴ ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য 5 মিটার।

মনে করি, ত্রিভুজের বাহুদ্বয় a = 26 সে.মি. ও b =28 সে. মি.

বাহুদ্বয়ের, অন্তর্ভুক্ত কোণ = θ

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 182 বর্গমিটার

আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}ab \sin \theta$

∴ $\frac{1}{2}ab \sin \theta =182$

$\frac{1}{2}\times 26 \times 28 \times \sin \theta =182$

বা, 364 sinθ= 182

বা, $\sin \theta =\frac{182}{364}=\frac{1}{2}=\sin 30°$

∴ θ = 30°

নির্ণেয় বাহূদয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ = 30°

মনে করি, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a = 10 মিটার, ভূমির দৈর্ঘ্য = b মিটার

∴ সমন্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{b}{4}\sqrt{4a^2-b^2}$

প্রশ্নানুসারে, $\frac{b}{4}\sqrt{4a^2-b^2}=48$

বা, $\frac{b}{4}\sqrt{{\left(10\right)}^2-b^2}=48$

বা, $\frac{b}{4}\sqrt{4\times 100-b^2}=48$

বা, $\frac{b}{4}\sqrt{400-b^2}=48$

বা, $b\sqrt{400-b^2}=192$

বা, ${\left(b\sqrt{400-b^2}\right)}^2=(192{)}^2$

বা, $b^2(400-b^2)=36864$

বা,  $400b^2-b^4=36864$

বা, $b^4-400b^2+36864=0$

বা, $b^4-144b^2-256b^2+36864=0$

বা, $b^2(b^2-144)-256(b^2-144)=0$

বা, $(b^2-144)(b^2-256)=0$

∴ $b^2-144=0$

বা, $b^2=144$

∴ b = 12

অথবা,

$b^2-256=0$

বা, $b^2=256$

বা, b = 16

নির্ণেয় ভূমির দৈর্ঘ্য 12 মিটার বা 16 মিটার।

মনে করি, A একটি নির্দিষ্ট বিন্দু। A বিন্দু হতে 135$°$ কোণে ঘণ্টায় 7 কি. মি. বেগে একজন AB রাস্তা বরাবর এবং অন্যজন ঘণ্টায় 5 কি. মি. বেগে AC রাস্তা ররাবর চলতে শুরু করে 4 ঘণ্টা পর B ও C বিন্দুতে পৌঁছে।

১ম জন 1 ঘণ্টায় যায় 7 কি. মি.

∴ ১ম জন 4 ঘণ্টায় যায় (7 $\times$ 4) = 28 কি. মি.

∴ ২য় জন 4 ঘণ্টায় যায় (4 $\times$ 5) = 20 কি. মি

∴ AB = 28 কি. মি., AC = 20 কি. মি.

C বিন্দু হতে BA এর বর্ধিতাংশের উপর CD লম্ব টানি।

$\angle CAB = 135°, \angle CAD = 45°$

ACD সমকোণী ত্রিভুজের, $\tan \angle CAD =\frac{CD}{AD}$

বা, $\tan 45° =\frac{CD}{AD}$

বা, $1 =\frac{CD}{AD}$$\left[\because \tan 45° = 1\right]$

∴ AD = CD

আবার, ACD সমকোণী ত্রিভুজের

$A{C}^2=C{D}^2+A{D}^2$

বা, $(20{)}^2=A{D}^2+A{D}^2$ $\left[\because AD=CD\right]$

বা, $400=2A{D}^2$

বা, $A{D}^2=\frac{400}{2}=200$

বা, $AD=\sqrt{2\times {\left(10\right)}^2}$$=10\sqrt{2}$কিঃমি.

∴ BD = AD+ AB

$= 10\sqrt{2} + 28 = 14.142 + 28 = 42.142$ কি. মি.

এখন, BCD সমকোণী ত্রিভুজের

$B{C}^2=C{D}^2+B{D}^2-(10\sqrt{2}{)}^2+(42.142{)}^2$

$=200+1775.948=1975.948$

∴ $BC =\sqrt{1975 . 948}=44.5$ কি. মি. (প্রায়)

∴ দুই ব্যক্তির মধ্যে সরাসরি দূরত্ব 44.45 কি. মি. (প্রায়)।

মনে করি, ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। এর অভ্যন্তরে O একটি বিন্দু। O বিন্দু হতে BC, AC ও AB বাহুর উপর যথাক্রমে, OD, OE এবং OF লম্ব আঁকি।

ধরি, ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য x সে. মি. হলে সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $\frac{\sqrt{3}}{4}$$x^2$ বর্গ সে. মি.।

দেওয়া আছে, OD = 6 সে. মি., OE = 7 সে. মি. OF = সে. মি.

আবার, Δ-ক্ষেত্র ABC = Δ-ক্ষেত্র BOC+ Δ-ক্ষেত্র AOC + Δ-ক্ষেত্র AOB

△-ক্ষেত্র BOC = $\frac{1}{2}BC\times OD$$\frac{1}{2}x\times 6=3x$বর্গ সে. মি.

△-ক্ষেত্র AOC = $\frac{1}{2}AC\times OE=\frac{1}{2}x\times 7=\frac{7x}{2}$বর্গ সে. মি.

△-ক্ষেত্র, AOB $\frac{1}{2}AB\times OF=\frac{1}{2}x\times 8=4x$ বর্গ সে. মি.

প্রশ্নমতে, $\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2=3x+\frac{7x}{2}+4x$

বা, $\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2=\frac{6x + 7x + 8x}{2}=\frac{21x}{2}$

বা, $\sqrt{3}{x}^2=42x$ [উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা গুণ করে]

বা, $\sqrt{3}x=42$

বা, $x=\frac{42}{\sqrt{3}}=\frac{42\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{3}}=\frac{42\sqrt{3}}{3}$

$=14\sqrt{3}= 24.249$ (প্রায়)

বাহুর দৈর্ঘ্য 24.249 সে. মি. (প্রায়)।

∴ ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2$বর্গ সে. মি.

$=\frac{\sqrt{3}}{4}\times (24.249{)}^2$ বর্গ সে. মি.

$=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 588=254.611$ বর্গ সে. মি.

∴ ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য 24.249 সে.মি. (প্রায়)

এবং ক্ষেত্রফল 254.611 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

দেওয়া আছে, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ = 7 সে.মি. এবং একটি বাহু = 4 সে.মি.

∴ সমকোণী ত্রিভুজের অপর বাহুর দৈর্ঘ্য,

= √(অতিভুজ) – (একটি বাহু)²

$=\sqrt{7^2-4^2}$সে.মি.

$=\sqrt{49-16}$ সে.মি.

$=\sqrt{33}$সে.মি. = 5.74 সে.মি. (প্রায়)

নির্ণেয় ত্রিভুজটির অপর বাহুর দৈর্ঘ্য 5.74 সে.মি. (প্রায়)।

এখানে, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ = 5 সে.মি.

এবং ভূমি = 3 সে.মি.

∴ অপর বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{5^2-3^2}$সে.মি.

$=\sqrt{25-9}$সে.মি.

$=\sqrt{16}$সে.মি.

= 4 সে.মি.

∴ ত্রিভুজটির পরিসীমা = (5 + 4 + 3) সে.মি. = 12 সে.মি.

নির্ণেয় ত্রিভুজটির পরিসীমা 12 সে.মি.।

আমরা জানি,

সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতীত অপর কোণ দুইটি সমষ্টি 90°.

অর্থাৎ, 4x°+ 2x° = 90°

বা, 4x + 2x = 90

বা, 6x = 90

বা, $x=\frac{90}{6}$

∴ x = 15

∴ 4x°= 4 $\times$ 15° = 60°, 2 $\times$ x° = 2 $\times$ 15° = 30°

∴ ক্ষুদ্রতর কোণের পরিমাণ 30°.

ধরি, সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য x সে.মি. অর্থাৎ AB = BC = x সে.মি.।

∴ $A{B}^2+B{C}^2=A{C}^2$

বা, $x^2+x^2=(12{)}^2$

বা, $2x^2=144$

বা, $x^2=\frac{144}{2}=72$

বা, $x=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$

∴ $AB = BC=6\sqrt{2}$

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\times BC\times AB$

$=\frac{1}{2}\times 6\sqrt{2}\times 6\sqrt{2}$ বর্গ সে.মি.

= 36 বর্গ সে.মি.

নির্ণেয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 36 বর্গ সে.মি.

এখানে, সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি a = 5 সে.মি.

এবং উচ্চতা, b = 14 সে.মি.

∴ সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{z}\times 5\times 14$ বর্গ সে.মি.

= 35 বর্গ সে.মি.

নির্ণেয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 35 বর্গ সে.মি.।

এখানে, সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি a = 25 সে.মি.

এবং উচ্চতা সে.মি.

∴ সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\times 25\times 30$ বর্গ সে.মি.

= 375 বর্গ সে.মি.

নির্ণেয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 375 বর্গ সে.মি.।

সমকোণ সংলগ্ন ক্ষুদ্রতর বাহু x সে.মি. হলে, অপর বাহুটি (x + 4) সে.মি.।

প্রশ্নমতে, $\frac{1}{2}\times x\left(x+4\right)=48$

বা, $x^2+4x=96$

বা, $x^2+4x-96=0$

বা, $x^2-8x+12x-96=0$

বা, $x(x - 8) + 12(x - 8) = 0$

বা, (x - 8)(x + 12) = 0

হয়, x - 8 = 0

বা, x = 8

অথবা, x + 12 = 0

বা, x = - 12 [যা গ্রহণযোগ্য নয় কারণ বাহুর দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না।]

∴ ক্ষুদ্রতর বাহুর দৈর্ঘ্য = x = 8 সে.মি.।

মনে করি, △ ABC এর দুইটি বাহু BC = a ও AC = b.

BC ও AC বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ ∠ACB = θ.

BC এর উপর AD'লম্ব আঁকি।

A ADC-এ, sin ∠ACD = $\frac{AD}{AC}$

বা, sin θ = $\frac{AD}{b}$

∴AD =b sin θ

△ ABC-এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\times BC \times AD$

$=\frac{1}{2}\times a \times b \sin \theta$

$=\frac{1}{2}ab \sin \theta$

∴ ত্রিভুজক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল $\frac{1}{2}ab \sin \theta$ (দেখানো হলো)

মনে করি,

ত্রিভুজের বাহুদ্বয় যথাক্রমে a = 18 মি. ও b = 16 মি.

এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ = 30$°$

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}ab \sin \theta$

$=\frac{1}{2}\times 18\times 16\times \sin 30°$ বর্গমি.
$\frac{1}{2}18\times 16\times \frac{1}{2}$বর্গমি.

= 72 বর্গমি.

নির্ণেয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 72 বর্গমি.।

মনে করি,

ত্রিভুজের বাহুদ্বয় যথাক্রমে a = 19 সে.মি., ও b = 20 সে.মি.

এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ, θ = 45$°$

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল

∴$\frac{1}{2}ab \sin \theta$

$=\frac{1}{2}\times 19\times 20\times \sin 45°$

$=\frac{1}{2}\times 19\times 20\times \frac{1}{\sqrt{2}}$ বর্গ সে.মি.

= 134.35 বর্গ (প্রায়)

নির্ণেয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 134.35 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

মনে করি, ত্রিভুজটির বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a = 12 সে.মি. এবং b = 14 সে.মি. এবং অন্তর্ভুক্ত কোণ, θ = 60 $°$

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}ab \sin \theta$

$=\frac{1}{2}\times 12\times 14\times \sin 60°$

$=\frac{1}{2}\times 12\times 14\times \frac{\sqrt{3}}{2}$বর্গ সে.মি.

= 72.75 বর্গ সে.মি. (প্রায়)

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 72.75 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

ধরি, ত্রিভুজটির বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a = 9 সে.মি. ও b = 10 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ = 30$°$

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}ab \sin \theta$

$=\frac{1}{2}\times 9\times 10\times \frac{1}{2}$

= 22.5 বর্গ সে.মি.।

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 22.5 বর্গ সে.মি.।

মনে করি,

ত্রিভুজটির দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a = 10 সে.মি. ও ৮-12 সে.মি. এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ, θ = 30$°$

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}ab \sin \theta$

$=\frac{1}{2}\times 10\times 12\times \sin 30°$ বর্গমি.

$=60\times \frac{1}{2}$বর্গ বর্গ সে.মি. = 30 বর্গ সে.মি.

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 30 বর্গ সে.মি.।

এখানে, ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য a = 8 সে.মি. ও b = 9 সে.মি. এবং এদের এদে অন্তর্ভুক্ত কোণ,  θ = 45$°$

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}ab \sin \theta$

$=\frac{1}{2}\times 8\times 9\times \sin 45°$ বর্গমি.

$=36\times \frac{1}{\sqrt{2}}$বর্গমি.

= 25.46 বর্গ সে.মি.।

নির্ণেয় ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 25.46 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

ধরি, ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a = 9 সে.মি. ও b = 14 সে.মি.

এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ,  θ = 30$°$

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}ab \sin \theta$

$=\frac{1}{2}\times 9\times 14\times \sin 30°$ বর্গমি.

$=\frac{1}{2}\times 9\times 14\times \frac{1}{2}$

$=\frac{63}{2}$= 31.5 বর্গ সে.মি.

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 31.5 বর্গ সে.মি.।

মনে করি,

ত্রিভুজের বাহুদ্বয় যথাক্রমে, a = 29 সে.মি. ও b = 30 সে.মি

এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ = 45°

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ab sin θ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\times 29\times 30\times \sin 45°$ বর্গ সে.মি.

$=29\times 15\times \frac{1}{\sqrt{2}}$ বর্গ সে.মি.

= 307.59 বর্গ সে.মি. (প্রায়)

নির্ণেয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 307.59 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

মনে করি,

ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a = 8 সে.মি. ও b = 9 সে.মি.

এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ = 60°

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}ab \sin \theta$

$=\frac{1}{2}\times 8\times 9\times \sin 60°$

$=\frac{1}{2}\times 8\times 9\times \frac{\sqrt{3}}{2}$বর্গ সে.মি.

$=18\sqrt{3}$ বর্গ সে.মি. = 31.18 বর্গ সে.মি. (প্রায়)

নির্ণেয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 31.18 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

এখানে, ত্রিভুজের দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য a = 4 সে.মি. ও b = 3 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ = 30°

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}ab \sin \theta$

$=\frac{1}{2}\times 4\times 3\times \sin 30°$

$=\frac{1}{2}\times 4\times 3\times \frac{1}{2}$বর্গ সে.মি. = 3 বর্গ সে.মি.

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 3 বর্গ সে.মি.।

এখানে, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30°

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল$=\frac{1}{2}ab \sin \theta$ বর্গ সে.মি.

$=\frac{1}{2}\times 6\times 6\times \sin 30°$ বর্গ সে.মি.

$=\frac{1}{2}\times 6\times 6\times \frac{1}{2}$বর্গ সে.মি. = 9 বর্গ সে.মি.

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 9 বর্গ সে.মি.।

চিত্র হতে পাই,

AB = 12 সে.মি., BC = 10 সে.মি. এবং $\angle$ ABC = 30$°$

$∆$ABC এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}AB \times BC \times \sin \angle ABC$

$=\frac{1}{2}\times 12\times 10\times \sin 30°$

$=\frac{1}{2}\times 12\times 10\times \frac{1}{2}$= 30 বর্গ সে.মি.

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 30 বর্গ সে.মি.।

ধরি, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য = a এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ, θ = 30°

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\times a\times a \sin \theta$ বর্গ একক

বা, $25=\frac{1}{2}\times a^2\times \sin 30°$ $=\frac{1}{2}\times a^2\times \frac{1}{2}$

$=\frac{1}{4}{a}^2$

বা, $a^2=100$

∴ a = 10

নির্ণেয় সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 10 সে.মি.।

এখানে, ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য a = 8 সে.মি. ও b = 4 সে.মি. এবং ক্ষেত্রফল 8 বর্গ সে.মি.।

ধরি, a ও b বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ = θ

আমরা জানি, $∆$ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}ab \sin \theta$

অর্থাৎ, $8=\frac{1}{2}8\times 4\times \sin \theta$

বা, $8=16\times \sin \theta$

বা, $\sin \theta =\frac{8}{16}=\frac{1}{2}=\sin 30°$

∴ $\theta =\sin 30°$

নির্ণেয় বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30°

এখানে, ত্রিভুজের দুইটি বাহু, a = 7 সে.মি., b = 12 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ = θ

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}ab \sin \theta$

বা, $21=\frac{1}{2}\times 7\times 12\times \sin \theta =42\sin \theta$

বা, $\sin \theta =\frac{21}{42}=\frac{1}{2}=\sin 30°$

∴ $\theta =30°$

নির্ণেয় কোণ 30°.

এখানে, ত্রিভুজের দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 6 সে.মি. ও b = 8 সে.মি. এবং ক্ষেত্রফল $=12\sqrt{2}$ বর্গ সে.মি.।

বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ θ হলে,

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}ab \sin \theta$

অর্থাৎ, $12\sqrt{2}=\frac{1}{2}\times 6\times 8\times \sin \theta$

বা, $12\sqrt{2}=24\sin \theta$

বা, $\sin \theta =\frac{12\sqrt{2}}{24}=\frac{1}{2}=\sin 45°$

∴ $\theta =45°$

∴ বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ 45°

দেওয়া আছে, ত্রিভুজের তিনটি বাহু যথাক্রমে 10 সে.মি., 12 সে.মি. ও x সে.মি. এবং অর্ধপরিসীমা, s = 19 সে.মি.।

শর্তমতে, $\frac{10 + 12 + x}{2}=19$

বা, $\frac{22x}{2}=19$

বা, 22 + x = 38

বা, x = 38 - 22

∴ x = 16

নির্ণেয় মান: x = 16 সে.মি.।

এখানে, a = 3 সে.মি., b = 4 সে.মি. এবং c = 5 সে.মি.

∴ ত্রিভুজটির অর্ধ-পরিসীমা,

$s =\frac{a + b + c}{2}=\frac{3 + 4 + 5}{2}=\frac{12}{2}=6$ সে.মি.

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $=\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$

$=\sqrt{6(6-3) (6-4) (6-5)}$

$=\sqrt{6\times 3\times 2\times 1}=\sqrt{36}$ = 6 বর্গ সে.মি.

নির্ণেয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 6 বর্গ সে.মি.।

এখানে,

ত্রিভুজের তিন বাহু a = 6 সে.মি., b = 8 সে.মি. ও c = 10 সে.মি.।

ত্রিভুজের অর্ধপরিসীমা, $s =\frac{a + b + c}{2}$$=\frac{6 + 8 + 10}{2}$

$=\frac{24}{2}$সে.মি. = 12 সে.মি.

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $=\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$ বর্গ একক

$=\sqrt{12(12 - 6)(12 - 8)(12 - 10)}$বর্গ সে.মি.

$=\sqrt{12\times 6\times 4\times 2}$ বর্গ সে.মি.

$=\sqrt{576}$ বর্গ সে.মি. = 24 বর্গ সে.মি.

নির্ণেয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 24 বর্গ সে.মি.।

এখানে,

∆ ABC-এ, AB = BC = CA = a

AD $\perp$ BC আঁকি।

∴ $BD = CD =\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}a=\frac{a}{2}$

ABD সমকোণী ত্রিভুজে, $B{D}^2+A{D}^2=A{B}^2$

বা, $A{D}^2=A{B}^2-B{D}^2$

বা, $AD=\sqrt{A{B}^2-B{D}^2}$ $=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}$

বা, $AD=\sqrt{\frac{4a^2-a^2}{4}}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}a}{2}$

∴ ∆ ABC এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\times BC\times AD=\frac{1}{2}\times a\times \frac{\sqrt{3}a}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$

∴ ∆ ABC এর ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$ (দেখানো হলো)

মনে করি, সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য $a=\sqrt{3}$ সে.মি.

∴ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$ বর্গ একক

$=\frac{\sqrt{3}}{4}\times {\left(\sqrt{3}\right)}^2$ বর্গ সে.মি.

$=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 3$ বর্গ সে.মি. = 1.3 বর্গ সে.মি. (প্রায়)

নির্ণেয় সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 1.3 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

এখানে, সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য $25\sqrt{3}$ সে.মি.

∴ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$

প্রশ্নমতে, $\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times {\left(25\sqrt{3}\right)}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 1875$

= 811.899 বর্গ সে.মি. (প্রায়)

∴ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 811.899 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য একক হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$ বর্গ একক

দেওয়া আছে, সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 সেমি

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 2^2$ বর্গ সেমি

$=\sqrt{3}$ বর্গ সেমি = 1.732 বর্গ সেমি (প্রায়)

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 1.732 বর্গ সেমি (প্রায়)।

ধরি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বস্তুর দৈর্ঘ্য = a একক

∴ সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমার = 3a একক

প্রশ্নমতে, 3a = 12

বা, $a=\frac{12}{3}=4$

∴ a = 4

সমবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 4^2$ বর্গ সে.মি.

$=\sqrt{3}\times 4$ বর্গ সে.মি.= 6.928 বর্গ সে.মি. (প্রায়)

নির্ণেয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 6.928 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

ধরি, সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a

আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$

প্রশ্নমতে, $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=16\sqrt{3}$

বা, $a^2=16\sqrt{3}\times \frac{4}{\sqrt{3}}=64$

∴ a = 8 [উভয়পক্ষে বর্গমূল করে]

∴ সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 8 সে.মি.।

এখানে, সুষম ত্রিভুজের পরিসীমা, 3a = 23 সে.মি.

∴ সুষম ত্রিভুজর বাহুর দৈর্ঘ্য, $a=\frac{23}{3}$সে.মি.

∴ সুষম ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$ বর্গ সে.মি.

$=\frac{\sqrt{3}}{4}{\left(\frac{23}{3}\right)}^2$বর্গ সে.মি.

$=\frac{\sqrt{3}}{4}\times \frac{529}{9}$ বর্গ সে.মি.

= 25.45 বর্গ সে.মি. (প্রায়)

নির্ণেয় সুষম ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 25.45 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

মনে করি, সমবাহু ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য a সে.মি.

∴ সমবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$ বর্গ সে.মি.

প্রশ্নমতে,$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=36\sqrt{3}$

বা, $\frac{1}{4}{a}^2=36$ [উভয়পক্ষকে $\sqrt{3}$ দ্বারা ভাগ করে]

বা, $a^2=144=(12{)}^2$

∴ a = 12

∴ সমবাহু ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি.।

ধরি, সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a একক

আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$ বর্গ একক

প্রশ্নমতে, $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=100\sqrt{3}$

বা, $a^2=\frac{100\sqrt{3}\times 4}{\sqrt{3}}=400$

∴ a = 20 [বর্গমূল করে]

নির্ণেয় এক বাহুর দৈর্ঘ্য 20 একক।

ধরি, সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a সে.মি.

∴ সমবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$ বর্গ বর্গ সে.মি.

প্রশ্নমতে, $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2={\left(\sqrt{3}\right)}^5$

বা, $a^2=\frac{{\sqrt{3}}^5\times 4}{\sqrt{3}}={\sqrt{3}}^4\times 4=36$

∴ a = 6 [বর্গমূল করে]

নির্ণেয় বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সে.মি.।

ধরি, সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক

আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$ বর্গ একক

শর্তমতে, $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=4\sqrt{3}$

বা, $a^2=4\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{4}=16$

বা, $a =\sqrt{16}$ [বর্গমূল করে]

∴ a = 4

∴ সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 3a একক

= (3 $\times$ 4) সে.মি. = 12 সে.মি.

∴ সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 12 সে.মি.।

ধরি, সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক

আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$ বর্গ একক

প্রশ্নমতে, $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=6\sqrt{3}$

বা, $a^2=24$

বা, $a=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$

∴ ত্রিভুজটির পরিসীমা $= 3a = 3\times 2\sqrt{6}=6\sqrt{6}$ মিটার

নির্ণেয় পরিসীমা $6\sqrt{6}$ মিটার।.

ধরি, সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক

আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$ বর্গ একক

শর্তমতে, $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=12\sqrt{3}$

বা, $a^2=\frac{12\sqrt{3}\times 4}{\sqrt{3}}=48$

বা, $a=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$ মিটার

∴ সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা $=3a=3\times 4\sqrt{3}$ মিটার

$=12\sqrt{3}$মিটার।

নির্ণেয় পরিসীমা $12\sqrt{3}$ মিটার।

যেহেতু Δ ABC এ AB = BC = CA= 6 সে.মি.

∴ Δ ABC সমবাহু ত্রিভুজ।

সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা, $AD=\frac{\sqrt{3}}{2}\times$বাহুর দৈর্ঘ্য

$=\frac{\sqrt{3}}{2}\times$AB বর্গ একক $=\frac{\sqrt{3}}{2}\times 6 =3\sqrt{3}$ সে.মি.

∴ ত্রিভুজের মধ্যমা $3\sqrt{3}$ সে.মি.।

দেওয়া আছে, সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য $a_1$ = 2 মি.

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}}{4}\times {a_1}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 2^2$

$=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 4 =\sqrt{3}$ বর্গ মি.

বাহুর দৈর্ঘ্য বাড়লে ত্রিভুজটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য, $a_2$ = 4 মি.

এক্ষেত্রে ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}}{4}\times {a_2}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 4^2$

$=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 16=4\sqrt{3}$ বর্গ মি.

∴ ক্ষেত্রফল বাড়বে $\left(4\sqrt{3}-\sqrt{3}\right)$ বর্গ মি. $= 3\sqrt{3}$ বর্গ মি.

∴ ক্ষেত্রফল বাড়বে $3\sqrt{3}$বর্গ মি.।

এখানে, ∆ABC এ, AB = AC = a

এবং BC = b AD $\perp$ BC আঁকি।

∴ $BD = CD = \frac{1}{2}BC=\frac{b}{2}$

সমকোণী ∆ABD এ, $A{D}^2=A{B}^2-B{D}^2$

বা, $AD =\sqrt{A{B}^2-B{D}^2}$

$=\sqrt{a^2-{\left(\frac{b}{2}\right)}^2=}\sqrt{a^2-\frac{b^2}{4}}=\sqrt{\frac{4a^2-b^2}{4}}$

∴ $AD =\frac{\sqrt{4a^2-b^2}}{2}$

∴ ∆ABC এর ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}\times BC\times AD$

$=\frac{1}{2}\times b\times \frac{\sqrt{4a^2-b^2}}{2}$

$=\frac{b}{4}\sqrt{4a^2-b^2}$

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $\frac{b}{4}\sqrt{4a^2-b^2}$

এখানে, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 3 সে.মি. এবং ভূমির দৈর্ঘ্য, b = 4 সে.মি.।

∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{b}{4}\sqrt{4a^2-b^2}$ বর্গ একক

$=\frac{4}{4}\sqrt{4\times 3^2-4^2}$ বর্গ সে.মি.

$=\sqrt{36-16}$ বর্গ সে.মি. $=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ বর্গ সে.মি.

নির্ণেয় ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $2\sqrt{5}$ বর্গ সে.মি.।

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহু a এবং ভূমি b হলে,

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$ বর্গ একক

শর্তমতে,  $=\frac{b}{4}\sqrt{4a^2-b^2}$

বা, $48=\sqrt{4a^2-(16{)}^2}$

বা, $48=4\sqrt{4a^2-256}$

বা, $\sqrt{4a^2-256}=12$

বা, $4a^2-256=144$ [বর্গ করে]

বা, $4a^2=144+256$

বা, $4a^2=400$

বা, $a^2=100$

∴ a = 10

নির্ণেয় সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 10 মিটার।

দেওয়া আছে, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 2.3 সে.মি. এবং সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য= 7 সে.মি.।

ধরি, ভূমির দৈর্ঘ্য = a সে.মি.

শর্তমতে, 7 + 7 + n = 23

বা, 14 + a = 23

বা, a = 23 - 14

∴ a = 9

নির্ণেয় ভূমির দৈর্ঘা 9 সে.মি.।

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি = (16-6) = 10 সে.মি

∴ সমান সমান বাহু, $a=\frac{10}{2}=5$ সে.মি.

এবং ভূমি, b = 6 সে.মি.

∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা $=\frac{\sqrt{4a^2-b^2}}{2}$

$=\frac{\sqrt{4\times 5^2-6^2}}{2}$

$=\frac{\sqrt{64}}{2}=\frac{8}{2}$ = 4 সে.মি.।

নির্ণেয় উচ্চতা 4 সে.মি.।