20 মিটার লম্বা একটি মই দেওয়ালের সাথে খাড়াভাবে আছে। মইটির গোড়া দেওয়াল থেকে কত দূরে সরালে ওপরের প্রান্ত 4 মিটার নিচে নামবে? (সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

মনে করি, ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

এর অতিভুজ AC = 25 মিটার

ধরি, AB = x মি.

∴ $BC =\frac{3x}{4}$ মি. [শর্তমতে]

ABC সমকোণী ত্রিভুজে,

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$

বা, $(25{)}^2=x^2+{\left(\frac{3x}{4}\right)}^2$

বা, $625=x^2+\frac{9x^2}{16}$

বা, $625=\frac{16x^2+9x^2}{16}$

বা, $625\times 16=25x^2$

বা, $=\frac{625\times 16}{25}=x^2$

বা, $x^2=25x\times 16$

বা,$x=\sqrt{5^2\times 4^2}$

∴ x = 20

∴ AB = 20 মিটার

এবং $BC =20\times \frac{3}{4}$ = 15 মিটার

∴ বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 20 মিটার ও 15 মিটার।

মনে করি, ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এবং এর ভূমি x মিটার।

∴ অপর দুই বাহু $AB = AC =\frac{5x}{6}$

প্রশ্নমতে, $x+\frac{5x}{6}+\frac{5x}{6}=16$

বা, 6x + 5x + 5x = 96[6 দ্বারা গুণ করে]

বা, 16x = 96

বা, $x= \frac{96}{16}=6$

অতএব, BC= 6 মিটার

যেহেতু BC = 6 মিটার

$AB = AC = \frac{5\times 6}{6}$মি.

ধরি, a = 5 মি., b = 6 মি.

△-ক্ষেত্র ABC-এর ক্ষেত্রফল $=\frac{b}{4}\sqrt{4a^2-b^2}=\frac{6}{4}\sqrt{4\times 5^2-6^2}$

$=\frac{6}{4}\times 8 =12$ বর্গমিটার

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 12 বর্গমিটার।

মনে করি, ত্রিভুজের অপর বাহু c

দেওয়া আছে, ত্রিভুজটির বাহু দুইটির

দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a= 25 সে.মি.

এবং b =27 সে.মি.

ত্রিভুজটির পরিসীমা, 2s = 84 সে.মি.

বা, $s=\frac{84}{2}$ সে.মি.

= 42 সে.মি.

এখন, ত্রিভুজের পরিসীমা, 2s = a + b + c

বা, 84 = 25 + 27 + c = 52 + c

বা, c = 84 - 52

∴ c =32 সে. মি.

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $=\sqrt{s\sqrt{(s - a)(s - b)(s - c)}}$বর্গ সে.মি.

$= \sqrt{42(42 - 25)(42 - 27)(42 - 32)}$

$=\sqrt{42 \times 17 \times 15 \times 10}$বর্গ সে.মি.

$= \sqrt{107100}$বর্গ সে.মি. = 327.26 বর্গ সে.মি. (প্রায়)

নির্ণেয় ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 327.26 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

মনে করি, সমবাহু ত্রিভুজটির প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার

∴ সমবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}{a}^2}{4}$বর্গমিটার

প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে, বাহুর দৈর্ঘ্য (a + 2) মিটার।

∴ ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}(a+2{)}^2}{4}$বর্গমিটার

$=\frac{\sqrt{3}(a^2+4a+4)}{4}$বর্গমিটার

প্রশ্নমতে, $\frac{\sqrt{3}(a^2+4a+4)}{4}=\frac{\sqrt{3}{a}^2}{4}+6\sqrt{3}$

বা, $\sqrt{3}(a^2+4a+4)=\sqrt{3}{a}^2+24\sqrt{3}$[4 দ্বারা গুণ করে]

বা, $a^2+4a+4=a^2+24$

বা, $a^2-a^2+4a=24-4$

বা, 4a = 20

∴ a = 5

∴ ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য 5 মিটার।

মনে করি, ত্রিভুজের বাহুদ্বয় a = 26 সে.মি. ও b =28 সে. মি.

বাহুদ্বয়ের, অন্তর্ভুক্ত কোণ = θ

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 182 বর্গমিটার

আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}ab \sin \theta$

∴ $\frac{1}{2}ab \sin \theta =182$

$\frac{1}{2}\times 26 \times 28 \times \sin \theta =182$

বা, 364 sinθ= 182

বা, $\sin \theta =\frac{182}{364}=\frac{1}{2}=\sin 30°$

∴ θ = 30°

নির্ণেয় বাহূদয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ = 30°

মনে করি, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a = 10 মিটার, ভূমির দৈর্ঘ্য = b মিটার

∴ সমন্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{b}{4}\sqrt{4a^2-b^2}$

প্রশ্নানুসারে, $\frac{b}{4}\sqrt{4a^2-b^2}=48$

বা, $\frac{b}{4}\sqrt{{\left(10\right)}^2-b^2}=48$

বা, $\frac{b}{4}\sqrt{4\times 100-b^2}=48$

বা, $\frac{b}{4}\sqrt{400-b^2}=48$

বা, $b\sqrt{400-b^2}=192$

বা, ${\left(b\sqrt{400-b^2}\right)}^2=(192{)}^2$

বা, $b^2(400-b^2)=36864$

বা,  $400b^2-b^4=36864$

বা, $b^4-400b^2+36864=0$

বা, $b^4-144b^2-256b^2+36864=0$

বা, $b^2(b^2-144)-256(b^2-144)=0$

বা, $(b^2-144)(b^2-256)=0$

∴ $b^2-144=0$

বা, $b^2=144$

∴ b = 12

অথবা,

$b^2-256=0$

বা, $b^2=256$

বা, b = 16

নির্ণেয় ভূমির দৈর্ঘ্য 12 মিটার বা 16 মিটার।