একটি ফার্মের লভ্যাংশ $P\left(x\right) = \frac{5x}{4}-300$ ফাংশনটি দ্বারা সংজ্ঞায়িত। i) ১৫০ টাকা লাভ করতে হলে কত ইউনিট উৎপাদন করতে হবে? ii) কত ইউনিট উৎপাদন করলে শূণ্য

ফাংশন হলো এমন একটি বিশেষ অন্বয় যেখানে একটি সেটের প্রতিটি উপাদানের জন্য অপর সেটে ঠিক একটি নির্দিষ্ট উপাদান নির্ধারিত থাকে।

মৌলিক ধারণা

যদি A এবং B দুটি সেট হয়, তবে A থেকে B তে একটি ফাংশন বলতে বোঝায় A-এর প্রতিটি উপাদানের সাথে B-এর ঠিক একটি উপাদানের সম্পর্ক স্থাপন।

প্রতীক

ফাংশনকে সাধারণত f, g, h ইত্যাদি দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

গাণিতিক প্রকাশ

$f:A\to B$

উদাহরণ

ধরা যাক,

$A=\{1,2,3\}$

এবং একটি ফাংশন f সংজ্ঞায়িত করা হলো:

f(x) = x + 1

তাহলে,

$f=\left\{\right(1,2),(2,3),(3,4\left)\right\}$

ফাংশনের শর্ত

• A-এর প্রতিটি উপাদানের জন্য একটি মাত্র মান থাকবে
• একটি ইনপুটের একাধিক আউটপুট থাকতে পারবে না
• একটি আউটপুট একাধিক ইনপুটের হতে পারে

ফাংশনের উপাদান

• ডোমেইন (Domain): ইনপুট সেট A
• কো-ডোমেইন (Codomain): সেট B
• রেঞ্জ (Range): প্রকৃত আউটপুটগুলোর সেট

উদাহরণ

f(x) = 2x হলে,

$f\left(2\right)=4$

বৈশিষ্ট্য

• ফাংশন একটি বিশেষ অন্বয়
• প্রতিটি ইনপুটের একটি নির্দিষ্ট আউটপুট থাকে
• গ্রাফ আকারে প্রকাশ করা যায়
• গণিত ও বিজ্ঞানে গুরুত্বপূর্ণ ব্যবহার আছে

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

ফাংশন মানে হলো “প্রতিটি ইনপুটের জন্য ঠিক একটি আউটপুট নির্ধারণ”।

মনে রাখার উপায়

“এক ইনপুট → এক আউটপুট = ফাংশন” — এই নিয়ম মনে রাখলে সহজে বোঝা যায়।

নিচের A ও B সেটের অন্বয় লক্ষ করি :

যখন y = x + 2, তখন

x = 1 হলে, y = 3

x = 2 হলে, y = 4

x = 3 হলে, y = 5

অর্থাৎ x এর একটি মানের জন্য y এর মাত্র একটি মান পাওয়া যায় এবং x ও y-এর মধ্যে সম্পর্ক তৈরি হয় y = x + 2 দ্বারা। সুতরাং দুইটি চলক x এবং y এমনভাবে সম্পর্কযুক্ত যেন x এর যেকোনো একটি মানের জন্য y এর একটি মাত্র মান পাওয়া যায়, তবে y কে c এর ফাংশন বলা হয়। এর ফাংশনকে সাধারণত y, f(x), g(x), F(x) ইত্যাদি দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

মনে করি, $y=x^2-2x+3$ একটি ফাংশন। এখানে, x এর যে কোনো একটি মানের জন্য y এর একটি মাত্র মান পাওয়া যাবে। এখানে, x এবং y উভয়ই চলক তবে, x এর মানের উপর y এর মান নির্ভরশীল। কাজেই x হচ্ছে স্বাধীন চলক এবং y হচ্ছে অধীন চলক।

উদাহরণ ১. $f\left(x\right)=x^2-4x+3$ হলে, f(−1) নির্ণয় কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^2-4x+3$

$\therefore ƒ(-1)=(-1)²- 4(-1)+3=1+4+3=8$

উদাহরণ ২. যদি $g\left(x\right)=x^3+a{x}^2–3x–6$ হয় তবে a এর কোন মানের জন্য g(-2) = 0?

সমাধান : দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=x^3+a{x}^2–3x–6$

$\therefore g(-2) = {(-2)}^3+a{(-2 )}^2–3(-2) – 6$

= 8 + 4a + 6 6 = 4a - 8

প্রশ্নানুসারে g(-2) = 0

$\therefore$ 4a – 8 = 0 বা, 4a = 8 বা, a = 2

$\therefore$ a = 2 হলে, g(-2) = 0