নিচের গাণিতিক সমস্যাগুলো সমাধান করুন:

ধরি, নবীনদের x জন গণিত বা ইংরেজি কোনোটাই নেয়নি।

∴ উপরের ভেনচিত্র হতে লেখা যায় যে,

১৫ + ১৫ + ২৫ + x = ১০০

$\Rightarrow$৫৫ + x = ১০০

$\Rightarrow$ x = ১০০-৫৫

∴ x = ৪৫

∴ গণিত বা ইংরেজি নিয়ে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা

= ১৫ + ১৫ + ২৫ = ৫৫ জন।

অতএব, (ক) গণিত বা ইংরেজি নিয়েছে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৫৫ জন। 

(খ) গণিত বা ইংরেজি কোনোটাই নেয়নি এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৪৫ জন।

Alternative:

ধরি, মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা, S = ১০০ জন।

এখানে, গণিত নেয়, M = ৩০ জন।

ইংরেজি নেয়, E = ৪০ জন।

উভয় বিষয় নেয়, M $\cap$ E = ১৫ জন।

ক) গণিত বা ইংরেজি নেয় M+E (M$\cap$E)

= ৩০ + ৪০ – ১৫ = ১৫ জন।

খ) কোনো বিষয়ই নেয়নি ১০০ -  ৫৫ = ৪৫ জন।

ধরি, পরীক্ষায় মোট নম্বর x এবং পাস নম্বর y

১ম প্রশ্নমতে, ২০% এর x = y - ৩০

⇒ $\frac{২০x}{১০০}=y-৩০$

⇒ $\frac{x}{৫}=y-৩০$

⇒ $y-৩০ = \frac{x}{৫}$

∴ $y =৩০ + \frac{x}{৫}$ .......... (i)

২য় প্রশ্নমতে, ৩০% এর x = y - ১০

⇒ $\frac{৩০x}{১০০}=y-১০$

⇒ $\frac{৩x}{১০}=y-১০$

∴ $y=১০+\frac{৩x}{১০}$  .......... (ii)

$৩০+ \frac{x}{৫}= ১০ + \frac{৩x}{১০}$

⇒ $\frac{x}{৫}- \frac{৩x}{১০}= ১০ - ৩০$

⇒ $\frac{২x - ৩x}{১০}=- ২০$

⇒ $\frac{-x}{১০}=-২০$

⇒ $\frac{x}{১০}=২০$

∴ x = ২০০

x এর মান (i) নং সমীকরণে বসে পাই

$y =৩০ + \frac{x}{৫}$

⇒ $y =৩০ + \frac{২০০}{৫}$

⇒ y = ৭০

অতএব, নির্ণেয় পরীক্ষার্থীর সংখ্যা ২০০ জন এবং পাস নম্বর ৭০ 

দেয়া আছে, $\frac{3}{3x+2}+\frac{10}{5x+1}=\frac{21}{7x+2}$

$\Rightarrow \frac{3}{3x+2}+\frac{10}{5x+1}=\frac{7}{7x+2}+\frac{14}{7x+2}$

$\Rightarrow \frac{3}{3x+2}-\frac{7}{7x+2}=+\frac{14}{7x+2}-\frac{10}{5x+1}$

$\Rightarrow \frac{21x + 6 - 21x - 14}{(3x + 2)(7x + 2)}=\frac{70x + 14 - 70x - 20}{(7x + 2)(5x + 1)}$

$\Rightarrow \frac{-8}{(3x + 2)(7x + 2)}=\frac{-6}{(7x + 2)(5x + 1)}$

$\Rightarrow \frac{4}{3x + 2}=\frac{3}{5x + 1}$

$\Rightarrow 20x + 4 = 9x + 6$

⇒ 11x = 2

∴ $x=\frac{2}{11}$

অতএব, নির্ণেয় সমাধান, $x=\frac{2}{11}$

দেয়া আছে, $P\left(x\right) = \frac{5x}{4}-300$

i) P(x) = 150 টাকা হলে

$\Rightarrow 150=\frac{5x}{4}-300$

$\Rightarrow \frac{5x}{4}=450$

∴ $x=\frac{450\times 4}{5}=360$

অর্থাৎ 150 টাকা লাভ করতে হলে 360 ইউনিট উৎপাদন করতে হবে।

ii) P(x) = হলে

$\Rightarrow \frac{5x}{4}-300=0$

$\Rightarrow \frac{5x}{4}-300$

∴ $x=\frac{300 \times 4}{5}= 240$

অর্থাৎ 240 ইউনিট উৎপাদন করলে শূন্য (0) মুনাফা হবে।

ধরি, ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ও AB = BC = a এবং BC = 60 সেন্টিমিটার।

A বিন্দু থেকে BC এর উপর AD লম্বা অঙ্কন করি।

BD = CD = $\frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \times 60 =30$ 

তাহলে, $A{D}^2=A{B}^2-B{D}^2=a^2-(30{)}^2$

= a²-900

∴ $AD = \sqrt{a^2-900}$

∴ সমদ্বিবাহু $∆$ ক্ষেত্র ABC এর ক্ষেত্রফল = 1200 বর্গসেন্টিমিটার । 

$\Rightarrow 1,200 =\frac{1}{2}\times BC\times AD$

$\Rightarrow 1,200 =\frac{1}{2}\times 60\times \sqrt{a^2-900}$

$\Rightarrow 30 \sqrt{a^2-900} =1,200$

$\Rightarrow \sqrt{a^2-900} =\frac{1,200}{30}=40$

$\Rightarrow a^2-900 =1600$ [উভয় পক্ষকে বর্গ করে]

$\Rightarrow a^2=1600+900=2,500$

$\Rightarrow a=\sqrt{2500}=50$

সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 50 সেন্টিমিটার।