নিচের গাণিতিক সমস্যাগুলো সমাধান করুন:

Created: 11 months ago | Updated: 10 months ago

Updated: 10 months ago

Combined Bank Combined Bank Senior Officer - 2025 গণিত 2025 সংযোগ সেট (Union of Sets) সরল-সহসমীকরণ (Simultaneous linear equations) সরল সমীকরণ (Simple/linear equation) ফাংশন (Function) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

228

(a)

একটি কলেজের ১০০ জন নবীন শিক্ষার্থীর মধ্যে ৩০ জন গণিত, ৪০ জন ইংরেজি এবং ১৫ জন গণিত ও ইংরেজি উভয় বিষয় নিয়েছে। নবীন শিক্ষার্থীদের ক) কতজন গণিত বা ইংরেজি নিয়েছে এবং খ) কতজন গণিত বা ইংরেজি কোনোটাই নেয়নি।

উত্তরঃ

ধরি, নবীনদের x জন গণিত বা ইংরেজি কোনোটাই নেয়নি।

∴ উপরের ভেনচিত্র হতে লেখা যায় যে,

১৫ + ১৫ + ২৫ + x = ১০০

$\Rightarrow$ ৫৫ + x = ১০০

$\Rightarrow$ x = ১০০-৫৫

∴ x = ৪৫

∴ গণিত বা ইংরেজি নিয়ে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা

= ১৫ + ১৫ + ২৫ = ৫৫ জন।

অতএব, (ক) গণিত বা ইংরেজি নিয়েছে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৫৫ জন।

(খ) গণিত বা ইংরেজি কোনোটাই নেয়নি এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৪৫ জন।

Alternative:

ধরি, মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা, S = ১০০ জন।

এখানে, গণিত নেয়, M = ৩০ জন।

ইংরেজি নেয়, E = ৪০ জন।

উভয় বিষয় নেয়, M $\cap$ E = ১৫ জন।

ক) গণিত বা ইংরেজি নেয় M+E (M $\cap$ E)

= ৩০ + ৪০ – ১৫ = ১৫ জন।

খ) কোনো বিষয়ই নেয়নি ১০০ - ৫৫ = ৪৫ জন।

Najjar Hossain Raju

11 months ago

(b)

একটি পরীক্ষায় ২০% নম্বর পাওয়া একজন শিক্ষার্থী ৩০ নম্বরের জন্য ফেল করেছে; আর একজন শিক্ষার্থী ৩০% নম্বর পেয়ে ১০ নম্বরের জন্য ফেল করেছে। পরীক্ষায় মোট নম্বর ও পাস নম্বর নির্ণয় করুন।

উত্তরঃ

ধরি, পরীক্ষায় মোট নম্বর x এবং পাস নম্বর y

১ম প্রশ্নমতে, ২০% এর x = y - ৩০

⇒ $\frac{২ ০ x}{১ ০ ০} = y - ৩ ০$

⇒ $\frac{x}{৫} = y - ৩ ০$

⇒ $y - ৩ ০ = \frac{x}{৫}$

∴ $y = ৩ ০ + \frac{x}{৫}$ .......... (i)

২য় প্রশ্নমতে, ৩০% এর x = y - ১০

⇒ $\frac{৩ ০ x}{১ ০ ০} = y - ১ ০$

⇒ $\frac{৩ x}{১ ০} = y - ১ ০$

∴ $y = ১ ০ + \frac{৩ x}{১ ০}$ .......... (ii)

$৩ ০ + \frac{x}{৫} = ১ ০ + \frac{৩ x}{১ ০}$

⇒ $\frac{x}{৫} - \frac{৩ x}{১ ০} = ১ ০ - ৩ ০$

⇒ $\frac{২ x - ৩ x}{১ ০} = - ২ ০$

⇒ $\frac{- x}{১ ০} = - ২ ০$

⇒ $\frac{x}{১ ০} = ২ ০$

∴ x = ২০০

x এর মান (i) নং সমীকরণে বসে পাই

$y = ৩ ০ + \frac{x}{৫}$

⇒ $y = ৩ ০ + \frac{২ ০ ০}{৫}$

⇒ y = ৭০

অতএব, নির্ণেয় পরীক্ষার্থীর সংখ্যা ২০০ জন এবং পাস নম্বর ৭০

Najjar Hossain Raju

11 months ago

(c)

সমাধান করুন: $\frac{3}{3 x + 2} + \frac{10}{5 x + 1} = \frac{21}{7 x + 2} .$

উত্তরঃ

দেয়া আছে, $\frac{3}{3 x + 2} + \frac{10}{5 x + 1} = \frac{21}{7 x + 2}$

$\Rightarrow \frac{3}{3 x + 2} + \frac{10}{5 x + 1} = \frac{7}{7 x + 2} + \frac{14}{7 x + 2}$

$\Rightarrow \frac{3}{3 x + 2} - \frac{7}{7 x + 2} = + \frac{14}{7 x + 2} - \frac{10}{5 x + 1}$

$\Rightarrow \frac{21 x + 6 - 21 x - 14}{(3 x + 2) (7 x + 2)} = \frac{70 x + 14 - 70 x - 20}{(7 x + 2) (5 x + 1)}$

$\Rightarrow \frac{- 8}{(3 x + 2) (7 x + 2)} = \frac{- 6}{(7 x + 2) (5 x + 1)}$

$\Rightarrow \frac{4}{3 x + 2} = \frac{3}{5 x + 1}$

$\Rightarrow 20 x + 4 = 9 x + 6$

⇒ 11x = 2

∴ $x = \frac{2}{11}$

অতএব, নির্ণেয় সমাধান, $x = \frac{2}{11}$

Najjar Hossain Raju

11 months ago

(d)

একটি ফার্মের লভ্যাংশ $P (x) = \frac{5 x}{4} - 300$ ফাংশনটি দ্বারা সংজ্ঞায়িত। i) ১৫০ টাকা লাভ করতে হলে কত ইউনিট উৎপাদন করতে হবে? ii) কত ইউনিট উৎপাদন করলে শূণ্য

উত্তরঃ

দেয়া আছে, $P (x) = \frac{5 x}{4} - 300$

i) P(x) = 150 টাকা হলে

$\Rightarrow 150 = \frac{5 x}{4} - 300$

$\Rightarrow \frac{5 x}{4} = 450$

∴ $x = \frac{450 \times 4}{5} = 360$

অর্থাৎ 150 টাকা লাভ করতে হলে 360 ইউনিট উৎপাদন করতে হবে।

ii) P(x) = হলে

$\Rightarrow \frac{5 x}{4} - 300 = 0$

$\Rightarrow \frac{5 x}{4} - 300$

∴ $x = \frac{300 \times 4}{5} = 240$

অর্থাৎ 240 ইউনিট উৎপাদন করলে শূন্য (0) মুনাফা হবে।

Najjar Hossain Raju

11 months ago

(e)

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভিত্তির দৈর্ঘ্য ৬০ সেমি (cm)। যদি ক্ষেত্রফল ১২০০ বর্গমিটার হয়, তাহলে সমান বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করুন।

উত্তরঃ

ধরি, ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ও AB = BC = a এবং BC = 60 সেন্টিমিটার।

A বিন্দু থেকে BC এর উপর AD লম্বা অঙ্কন করি।

BD = CD = $\frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} \times 60 = 30$

তাহলে, $A D^{2} = A B^{2} - B D^{2} = a^{2} - (30)^{2}$

= a²-900

∴ $A D = \sqrt{a^{2} - 900}$

∴ সমদ্বিবাহু $∆$ ক্ষেত্র ABC এর ক্ষেত্রফল = 1200 বর্গসেন্টিমিটার ।

$\Rightarrow 1, 200 = \frac{1}{2} \times B C \times A D$

$\Rightarrow 1, 200 = \frac{1}{2} \times 60 \times \sqrt{a^{2} - 900}$

$\Rightarrow 30 \sqrt{a^{2} - 900} = 1, 200$

$\Rightarrow \sqrt{a^{2} - 900} = \frac{1, 200}{30} = 40$

$\Rightarrow a^{2} - 900 = 1600$ [উভয় পক্ষকে বর্গ করে]

$\Rightarrow a^{2} = 1600 + 900 = 2, 500$

$\Rightarrow a = \sqrt{2500} = 50$

সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 50 সেন্টিমিটার।

Najjar Hossain Raju

11 months ago

228

MCQ: 32 CQ: 11

Practice

ফাংশন (Function)

ফাংশন হলো এমন একটি বিশেষ অন্বয় যেখানে একটি সেটের প্রতিটি উপাদানের জন্য অপর সেটে ঠিক একটি নির্দিষ্ট উপাদান নির্ধারিত থাকে।

মৌলিক ধারণা

যদি A এবং B দুটি সেট হয়, তবে A থেকে B তে একটি ফাংশন বলতে বোঝায় A-এর প্রতিটি উপাদানের সাথে B-এর ঠিক একটি উপাদানের সম্পর্ক স্থাপন।

প্রতীক

ফাংশনকে সাধারণত f, g, h ইত্যাদি দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

গাণিতিক প্রকাশ

$f : A \to B$

উদাহরণ

ধরা যাক,

$A = {1, 2, 3}$

এবং একটি ফাংশন f সংজ্ঞায়িত করা হলো:

f(x) = x + 1

তাহলে,

$f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)}$

ফাংশনের শর্ত

A-এর প্রতিটি উপাদানের জন্য একটি মাত্র মান থাকবে
একটি ইনপুটের একাধিক আউটপুট থাকতে পারবে না
একটি আউটপুট একাধিক ইনপুটের হতে পারে

ফাংশনের উপাদান

ডোমেইন (Domain): ইনপুট সেট A
কো-ডোমেইন (Codomain): সেট B
রেঞ্জ (Range): প্রকৃত আউটপুটগুলোর সেট

উদাহরণ

f(x) = 2x হলে,

$f (2) = 4$

বৈশিষ্ট্য

ফাংশন একটি বিশেষ অন্বয়
প্রতিটি ইনপুটের একটি নির্দিষ্ট আউটপুট থাকে
গ্রাফ আকারে প্রকাশ করা যায়
গণিত ও বিজ্ঞানে গুরুত্বপূর্ণ ব্যবহার আছে

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

ফাংশন মানে হলো “প্রতিটি ইনপুটের জন্য ঠিক একটি আউটপুট নির্ধারণ”।

মনে রাখার উপায়

“এক ইনপুট → এক আউটপুট = ফাংশন” — এই নিয়ম মনে রাখলে সহজে বোঝা যায়।

নিচের A ও B সেটের অন্বয় লক্ষ করি :

যখন y = x + 2, তখন

x = 1 হলে, y = 3

x = 2 হলে, y = 4

x = 3 হলে, y = 5

অর্থাৎ x এর একটি মানের জন্য y এর মাত্র একটি মান পাওয়া যায় এবং x ও y-এর মধ্যে সম্পর্ক তৈরি হয় y = x + 2 দ্বারা। সুতরাং দুইটি চলক x এবং y এমনভাবে সম্পর্কযুক্ত যেন x এর যেকোনো একটি মানের জন্য y এর একটি মাত্র মান পাওয়া যায়, তবে y কে c এর ফাংশন বলা হয়। এর ফাংশনকে সাধারণত y, f(x), g(x), F(x) ইত্যাদি দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

মনে করি, $y = x^{2} - 2 x + 3$ একটি ফাংশন। এখানে, x এর যে কোনো একটি মানের জন্য y এর একটি মাত্র মান পাওয়া যাবে। এখানে, x এবং y উভয়ই চলক তবে, x এর মানের উপর y এর মান নির্ভরশীল। কাজেই x হচ্ছে স্বাধীন চলক এবং y হচ্ছে অধীন চলক।

উদাহরণ ১. $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ হলে, f(−1) নির্ণয় কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$

$∴ ƒ (- 1) = (- 1) ² - 4 (- 1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8$

উদাহরণ ২. যদি $g (x) = x^{3} + a x^{2} - 3 x - 6$ হয় তবে a এর কোন মানের জন্য g(-2) = 0?

সমাধান : দেওয়া আছে, $g (x) = x^{3} + a x^{2} - 3 x - 6$

$∴ g (- 2) = {(- 2)}^{3} + a {(- 2)}^{2} - 3 (- 2) - 6$

= 8 + 4a + 6 6 = 4a - 8

প্রশ্নানুসারে g(-2) = 0

$∴$ 4a – 8 = 0 বা, 4a = 8 বা, a = 2

$∴$ a = 2 হলে, g(-2) = 0

Related Question

View All

(খ)

x + y = 1, k x + y = 2

এবং

x + k y = 3

হলে, K এর মান নির্ণয় করুন।

BCS 43rd BCS Written গণিত সরল-সহসমীকরণ (Simultaneous linear equations)

1.3k

Add Explanation

1.3k

(খ)

সমাধান করুন:

\frac{x - a}{x - b} + \frac{x - b}{x - a} = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}

BCS 41st BCS Written গণিত সরল সমীকরণ (Simple/linear equation)

326

Add Explanation

326

(ক)

দুজিন শ্রমিকের মাসিক বেতনের যোগফল ২০,০০০ টাকা । একজন শ্রমিকের বেতন ১০% হ্রাস পেলে যত টাকা হয় অপর শ্রমিকের বেতন ১০% বৃদ্ধি পেলে সমপরিমাণ টাকা হয়। শ্রমিক দুজনের বেতন মাসিক কত টাকা তা নির্ণয় করুন।

BCS 40th BCS Written গণিত সরল সমীকরণ (Simple/linear equation)

2.3k

উত্তরঃ

x এর ৯০% = y এর ১১০% [১০% যার কমবে তার ১০০% থেকে ৯০% এবং যার ১০% বাড়বে তার ১১০% পরস্পর সমান সুতরাং x:y = ১১০:৯০ = ১১:৯ [% দুটি উল্টে গিয়ে অনুপাত হয়। এখানে অনুপাতের যোগফল = ১১+৯ = ২০

তাহলে এখন সাধারণ অনুপাত আকারে ভাগ করলে x এর বেতন ২০০০০x ১১/ ২০ = ১১০০০ টাকা।

এবং y এর বেতন == ২০০০০x ৯/২০ = ৯০০০ টাকা।

asif 0713

2 years ago