নিচের গাণিতিক সমস্যাগুলো সমাধান করুন:

Created: 1 year ago | Updated: 11 months ago

Updated: 11 months ago

239

(a)

একটি কলেজের ১০০ জন নবীন শিক্ষার্থীর মধ্যে ৩০ জন গণিত, ৪০ জন ইংরেজি এবং ১৫ জন গণিত ও ইংরেজি উভয় বিষয় নিয়েছে। নবীন শিক্ষার্থীদের ক) কতজন গণিত বা ইংরেজি নিয়েছে এবং খ) কতজন গণিত বা ইংরেজি কোনোটাই নেয়নি।

উত্তরঃ

ধরি, নবীনদের x জন গণিত বা ইংরেজি কোনোটাই নেয়নি।

∴ উপরের ভেনচিত্র হতে লেখা যায় যে,

১৫ + ১৫ + ২৫ + x = ১০০

$\Rightarrow$ ৫৫ + x = ১০০

$\Rightarrow$ x = ১০০-৫৫

∴ x = ৪৫

∴ গণিত বা ইংরেজি নিয়ে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা

= ১৫ + ১৫ + ২৫ = ৫৫ জন।

অতএব, (ক) গণিত বা ইংরেজি নিয়েছে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৫৫ জন।

(খ) গণিত বা ইংরেজি কোনোটাই নেয়নি এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৪৫ জন।

Alternative:

ধরি, মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা, S = ১০০ জন।

এখানে, গণিত নেয়, M = ৩০ জন।

ইংরেজি নেয়, E = ৪০ জন।

উভয় বিষয় নেয়, M $\cap$ E = ১৫ জন।

ক) গণিত বা ইংরেজি নেয় M+E (M $\cap$ E)

= ৩০ + ৪০ – ১৫ = ১৫ জন।

খ) কোনো বিষয়ই নেয়নি ১০০ - ৫৫ = ৪৫ জন।

Najjar Hossain Raju

1 year ago

(b)

একটি পরীক্ষায় ২০% নম্বর পাওয়া একজন শিক্ষার্থী ৩০ নম্বরের জন্য ফেল করেছে; আর একজন শিক্ষার্থী ৩০% নম্বর পেয়ে ১০ নম্বরের জন্য ফেল করেছে। পরীক্ষায় মোট নম্বর ও পাস নম্বর নির্ণয় করুন।

উত্তরঃ

ধরি, পরীক্ষায় মোট নম্বর x এবং পাস নম্বর y

১ম প্রশ্নমতে, ২০% এর x = y - ৩০

⇒ $\frac{২ ০ x}{১ ০ ০} = y - ৩ ০$

⇒ $\frac{x}{৫} = y - ৩ ০$

⇒ $y - ৩ ০ = \frac{x}{৫}$

∴ $y = ৩ ০ + \frac{x}{৫}$ .......... (i)

২য় প্রশ্নমতে, ৩০% এর x = y - ১০

⇒ $\frac{৩ ০ x}{১ ০ ০} = y - ১ ০$

⇒ $\frac{৩ x}{১ ০} = y - ১ ০$

∴ $y = ১ ০ + \frac{৩ x}{১ ০}$ .......... (ii)

$৩ ০ + \frac{x}{৫} = ১ ০ + \frac{৩ x}{১ ০}$

⇒ $\frac{x}{৫} - \frac{৩ x}{১ ০} = ১ ০ - ৩ ০$

⇒ $\frac{২ x - ৩ x}{১ ০} = - ২ ০$

⇒ $\frac{- x}{১ ০} = - ২ ০$

⇒ $\frac{x}{১ ০} = ২ ০$

∴ x = ২০০

x এর মান (i) নং সমীকরণে বসে পাই

$y = ৩ ০ + \frac{x}{৫}$

⇒ $y = ৩ ০ + \frac{২ ০ ০}{৫}$

⇒ y = ৭০

অতএব, নির্ণেয় পরীক্ষার্থীর সংখ্যা ২০০ জন এবং পাস নম্বর ৭০

Najjar Hossain Raju

1 year ago

(c)

সমাধান করুন: $\frac{3}{3 x + 2} + \frac{10}{5 x + 1} = \frac{21}{7 x + 2} .$

উত্তরঃ

দেয়া আছে, $\frac{3}{3 x + 2} + \frac{10}{5 x + 1} = \frac{21}{7 x + 2}$

$\Rightarrow \frac{3}{3 x + 2} + \frac{10}{5 x + 1} = \frac{7}{7 x + 2} + \frac{14}{7 x + 2}$

$\Rightarrow \frac{3}{3 x + 2} - \frac{7}{7 x + 2} = + \frac{14}{7 x + 2} - \frac{10}{5 x + 1}$

$\Rightarrow \frac{21 x + 6 - 21 x - 14}{(3 x + 2) (7 x + 2)} = \frac{70 x + 14 - 70 x - 20}{(7 x + 2) (5 x + 1)}$

$\Rightarrow \frac{- 8}{(3 x + 2) (7 x + 2)} = \frac{- 6}{(7 x + 2) (5 x + 1)}$

$\Rightarrow \frac{4}{3 x + 2} = \frac{3}{5 x + 1}$

$\Rightarrow 20 x + 4 = 9 x + 6$

⇒ 11x = 2

∴ $x = \frac{2}{11}$

অতএব, নির্ণেয় সমাধান, $x = \frac{2}{11}$

Najjar Hossain Raju

1 year ago

(d)

একটি ফার্মের লভ্যাংশ $P (x) = \frac{5 x}{4} - 300$ ফাংশনটি দ্বারা সংজ্ঞায়িত। i) ১৫০ টাকা লাভ করতে হলে কত ইউনিট উৎপাদন করতে হবে? ii) কত ইউনিট উৎপাদন করলে শূণ্য

উত্তরঃ

দেয়া আছে, $P (x) = \frac{5 x}{4} - 300$

i) P(x) = 150 টাকা হলে

$\Rightarrow 150 = \frac{5 x}{4} - 300$

$\Rightarrow \frac{5 x}{4} = 450$

∴ $x = \frac{450 \times 4}{5} = 360$

অর্থাৎ 150 টাকা লাভ করতে হলে 360 ইউনিট উৎপাদন করতে হবে।

ii) P(x) = হলে

$\Rightarrow \frac{5 x}{4} - 300 = 0$

$\Rightarrow \frac{5 x}{4} - 300$

∴ $x = \frac{300 \times 4}{5} = 240$

অর্থাৎ 240 ইউনিট উৎপাদন করলে শূন্য (0) মুনাফা হবে।

Najjar Hossain Raju

1 year ago

(e)

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভিত্তির দৈর্ঘ্য ৬০ সেমি (cm)। যদি ক্ষেত্রফল ১২০০ বর্গমিটার হয়, তাহলে সমান বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করুন।

উত্তরঃ

ধরি, ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ও AB = BC = a এবং BC = 60 সেন্টিমিটার।

A বিন্দু থেকে BC এর উপর AD লম্বা অঙ্কন করি।

BD = CD = $\frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} \times 60 = 30$

তাহলে, $A D^{2} = A B^{2} - B D^{2} = a^{2} - (30)^{2}$

= a²-900

∴ $A D = \sqrt{a^{2} - 900}$

∴ সমদ্বিবাহু $∆$ ক্ষেত্র ABC এর ক্ষেত্রফল = 1200 বর্গসেন্টিমিটার ।

$\Rightarrow 1, 200 = \frac{1}{2} \times B C \times A D$

$\Rightarrow 1, 200 = \frac{1}{2} \times 60 \times \sqrt{a^{2} - 900}$

$\Rightarrow 30 \sqrt{a^{2} - 900} = 1, 200$

$\Rightarrow \sqrt{a^{2} - 900} = \frac{1, 200}{30} = 40$

$\Rightarrow a^{2} - 900 = 1600$ [উভয় পক্ষকে বর্গ করে]

$\Rightarrow a^{2} = 1600 + 900 = 2, 500$

$\Rightarrow a = \sqrt{2500} = 50$

সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 50 সেন্টিমিটার।

Najjar Hossain Raju

1 year ago

239

MCQ: 32 CQ: 11

Practice

ফাংশন (Function)

ফাংশন হলো এমন একটি বিশেষ অন্বয় যেখানে একটি সেটের প্রতিটি উপাদানের জন্য অপর সেটে ঠিক একটি নির্দিষ্ট উপাদান নির্ধারিত থাকে।

মৌলিক ধারণা

যদি A এবং B দুটি সেট হয়, তবে A থেকে B তে একটি ফাংশন বলতে বোঝায় A-এর প্রতিটি উপাদানের সাথে B-এর ঠিক একটি উপাদানের সম্পর্ক স্থাপন।

প্রতীক

ফাংশনকে সাধারণত f, g, h ইত্যাদি দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

গাণিতিক প্রকাশ

$f : A \to B$

উদাহরণ

ধরা যাক,

$A = {1, 2, 3}$

এবং একটি ফাংশন f সংজ্ঞায়িত করা হলো:

f(x) = x + 1

তাহলে,

$f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)}$

ফাংশনের শর্ত

A-এর প্রতিটি উপাদানের জন্য একটি মাত্র মান থাকবে
একটি ইনপুটের একাধিক আউটপুট থাকতে পারবে না
একটি আউটপুট একাধিক ইনপুটের হতে পারে

ফাংশনের উপাদান

ডোমেইন (Domain): ইনপুট সেট A
কো-ডোমেইন (Codomain): সেট B
রেঞ্জ (Range): প্রকৃত আউটপুটগুলোর সেট

উদাহরণ

f(x) = 2x হলে,

$f (2) = 4$

বৈশিষ্ট্য

ফাংশন একটি বিশেষ অন্বয়
প্রতিটি ইনপুটের একটি নির্দিষ্ট আউটপুট থাকে
গ্রাফ আকারে প্রকাশ করা যায়
গণিত ও বিজ্ঞানে গুরুত্বপূর্ণ ব্যবহার আছে

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

ফাংশন মানে হলো “প্রতিটি ইনপুটের জন্য ঠিক একটি আউটপুট নির্ধারণ”।

মনে রাখার উপায়

“এক ইনপুট → এক আউটপুট = ফাংশন” — এই নিয়ম মনে রাখলে সহজে বোঝা যায়।

নিচের A ও B সেটের অন্বয় লক্ষ করি :

যখন y = x + 2, তখন

x = 1 হলে, y = 3

x = 2 হলে, y = 4

x = 3 হলে, y = 5

অর্থাৎ x এর একটি মানের জন্য y এর মাত্র একটি মান পাওয়া যায় এবং x ও y-এর মধ্যে সম্পর্ক তৈরি হয় y = x + 2 দ্বারা। সুতরাং দুইটি চলক x এবং y এমনভাবে সম্পর্কযুক্ত যেন x এর যেকোনো একটি মানের জন্য y এর একটি মাত্র মান পাওয়া যায়, তবে y কে c এর ফাংশন বলা হয়। এর ফাংশনকে সাধারণত y, f(x), g(x), F(x) ইত্যাদি দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

মনে করি, $y = x^{2} - 2 x + 3$ একটি ফাংশন। এখানে, x এর যে কোনো একটি মানের জন্য y এর একটি মাত্র মান পাওয়া যাবে। এখানে, x এবং y উভয়ই চলক তবে, x এর মানের উপর y এর মান নির্ভরশীল। কাজেই x হচ্ছে স্বাধীন চলক এবং y হচ্ছে অধীন চলক।

উদাহরণ ১. $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ হলে, f(−1) নির্ণয় কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$

$∴ ƒ (- 1) = (- 1) ² - 4 (- 1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8$

উদাহরণ ২. যদি $g (x) = x^{3} + a x^{2} - 3 x - 6$ হয় তবে a এর কোন মানের জন্য g(-2) = 0?

সমাধান : দেওয়া আছে, $g (x) = x^{3} + a x^{2} - 3 x - 6$

$∴ g (- 2) = {(- 2)}^{3} + a {(- 2)}^{2} - 3 (- 2) - 6$

= 8 + 4a + 6 6 = 4a - 8

প্রশ্নানুসারে g(-2) = 0

$∴$ 4a – 8 = 0 বা, 4a = 8 বা, a = 2

$∴$ a = 2 হলে, g(-2) = 0

Related Question

View All

(খ)

x + y = 1, k x + y = 2

এবং

x + k y = 3

হলে, K এর মান নির্ণয় করুন।

BCS 43rd BCS Written গণিত সরল-সহসমীকরণ (Simultaneous linear equations)

1.3k

উত্তরঃ

প্রদত্ত সমীকরণগুলো হলো:

\[x+y=1 \quad \text{(1)}\] \[kx+y=2 \quad \text{(2)}\] \[x+ky=3 \quad \text{(3)}\]

ধাপ ১: সমীকরণ (1) থেকে y এর মান x এর মাধ্যমে প্রকাশ করি।

\[y=1-x \quad \text{(4)}\]

ধাপ ২: সমীকরণ (4) থেকে প্রাপ্ত y এর মান সমীকরণ (2) এ বসাই।

\[kx+(1-x)=2\] \[kx-x=2-1\] \[x(k-1)=1\]

যদি $k=1$ হয়, তবে $x(1-1)=1$ অর্থাৎ $0=1$, যা অসম্ভব। সুতরাং, $k \neq 1$।

\[x=\frac{1}{k-1} \quad \text{(5)}\]

ধাপ ৩: সমীকরণ (5) থেকে প্রাপ্ত x এর মান সমীকরণ (4) এ বসিয়ে y এর মান নির্ণয় করি।

\[y=1-x\] \[y=1-\frac{1}{k-1}\] \[y=\frac{(k-1)-1}{k-1}\] \[y=\frac{k-2}{k-1} \quad \text{(6)}\]

ধাপ ৪: সমীকরণ (5) এবং (6) থেকে প্রাপ্ত x ও y এর মান সমীকরণ (3) এ বসাই।

\[x+ky=3\] \[\frac{1}{k-1}+k\left(\frac{k-2}{k-1}\right)=3\]

উভয় পক্ষকে $(k-1)$ দ্বারা গুণ করে পাই (যেহেতু $k \neq 1$):

\[1+k(k-2)=3(k-1)\] \[1+k^2-2k=3k-3\]

ধাপ ৫: সমীকরণটিকে সমাধান করে k এর মান নির্ণয় করি।

\[k^2-2k-3k+1+3=0\] \[k^2-5k+4=0\]

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। এটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে সমাধান করি।

\[k^2-4k-k+4=0\] \[k(k-4)-1(k-4)=0\] \[(k-1)(k-4)=0\]

সুতরাং, $k-1=0$ অথবা $k-4=0$

\[k=1 \quad \text{অথবা} \quad k=4\]

ধাপ ৬: প্রাপ্ত k এর মানগুলো যাচাই করি।

আমরা আগেই দেখেছি যে, যদি $k=1$ হয়, তবে $0=1$ হয় যা অসম্ভব। অর্থাৎ, $k=1$ হলে প্রদত্ত সমীকরণগুলোর কোনো সমাধান থাকে না।

সুতরাং, $k=1$ গ্রহণযোগ্য নয়।

অতএব, k এর একমাত্র গ্রহণযোগ্য মান হলো $k=4$।

Satt AI

2 weeks ago

1.3k

(খ)

সমাধান করুন:

\frac{x - a}{x - b} + \frac{x - b}{x - a} = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}

BCS 41st BCS Written গণিত সরল সমীকরণ (Simple/linear equation)

335

Add Explanation

335

(ক)

দুজিন শ্রমিকের মাসিক বেতনের যোগফল ২০,০০০ টাকা । একজন শ্রমিকের বেতন ১০% হ্রাস পেলে যত টাকা হয় অপর শ্রমিকের বেতন ১০% বৃদ্ধি পেলে সমপরিমাণ টাকা হয়। শ্রমিক দুজনের বেতন মাসিক কত টাকা তা নির্ণয় করুন।

BCS 40th BCS Written গণিত সরল সমীকরণ (Simple/linear equation)

2.3k

উত্তরঃ

x এর ৯০% = y এর ১১০% [১০% যার কমবে তার ১০০% থেকে ৯০% এবং যার ১০% বাড়বে তার ১১০% পরস্পর সমান সুতরাং x:y = ১১০:৯০ = ১১:৯ [% দুটি উল্টে গিয়ে অনুপাত হয়। এখানে অনুপাতের যোগফল = ১১+৯ = ২০

তাহলে এখন সাধারণ অনুপাত আকারে ভাগ করলে x এর বেতন ২০০০০x ১১/ ২০ = ১১০০০ টাকা।

এবং y এর বেতন == ২০০০০x ৯/২০ = ৯০০০ টাকা।

asif 0713

2 years ago