একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ OA = 3.5 সে.মি.। বৃত্তে অন্তর্লিখিত ABCD চতুর্ভুজের AC ও BD দুইটি কর্ণ।

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে অন্তর্লিখিত ABCD চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো যথাক্রমে AB ও CD এবং BC ও AD । AC ও BD চতুর্ভুজটির দুইটি কর্ণ। প্রমাণ করতে হবে যে, AC. BD = AB. CD + BC. AD.

অঙ্কন : ∠BAC কে ∠DAC থেকে ছোট ধরে নিয়ে A বিন্দুতে AD রেখার সাথে ∠BAC এর সমান করে ∠DAP আঁকি যেন AP রেখা BD কর্ণকে P বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ: অঙ্কন অনুসারে, ∠BAC =∠DAP

বা, ∠BAC + ∠CAP = ∠DAP +∠CAP [উভয়পক্ষে ∠CAP যোগ করে]

বা, ∠BAP = ∠CAD

এখন, $△$ABP ও $△$ACD এর মধ্যে

∠BAP = ∠CAD এবং ∠ABD = ∠ACD [একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান বলে]

এবং অবশিষ্ট ∠APB = অবশিষ্ট ∠ADC

△ABP ও △ACD সদৃশকোণী

$\therefore$ $\frac{BP}{CD}=\frac{AB}{AC}$

$\therefore$ AC . BP = AB . CD _______ (i)

আবার, △ABC ও △APD এর মধ্যে

∠BAC = ∠PAD [অঙ্কন অনুসারে]

∠ADP = ∠ACB [একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান বলে]

এবং অবশিষ্ট ∠ABC = অবশিষ্ট ∠APD

△ABC ও △APD সদৃশকোণী

$\therefore$ $\frac{AD}{AC}=\frac{PD}{BC}$

$\therefore$ AC. PD = BC. AD ________ (ii)

সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,

AC. BP + AC. PD = AB. CD + BC. AD

বা, AC (BP + PD) = AB. CD + BC. AD

বা, AC. BD = AB. CD + BC. AD  [BP + PD = BD]

$\therefore$ AC. BD = AB. CD + BC. AD. (প্রমাণিত)

মনে করি, PQ একটি নির্দিষ্ট সরলরেখা এবং O কেন্দ্রবিশিষ্ট উদ্দীপকের বৃত্তে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু C । এমন একটি বৃত্ত অঙ্কন করতে হবে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তকে C বিন্দুতে ও PQ সরলরেখাকে স্পর্শ করে।

অঙ্কনের বিবরণ :

ধাপ ১. O, C যোগ করি।

ধাপ ২. C বিন্দুতে CD স্পর্শক অঙ্কন ফরি। যেন তা PQ কে D বিন্দুতে ছেদ করে।

ধাপ ৩. ∠CDQ এর সমদ্বিখন্ডক অঙ্কন করি। OC কে বর্ধিত করায় তা সমদ্বিখন্ডককে O' বিন্দুতে ছেদ করে।

ধাপ ৪. O' থেকে PQ এর উপর O'A লম্ব আঁকি।

ধাপ ৫. এখন O' কে কেন্দ্র করে O'A বা O'C এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে ABC বৃত্ত অঙ্কন করি।

তাহলে, ABC-ই উদ্দিষ্ট বৃত্ত।