প্রমাণ কর যে, AC.BD = AB.CD + BC.AD ।

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে অন্তর্লিখিত ABCD চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো যথাক্রমে AB ও CD এবং BC ও AD । AC ও BD চতুর্ভুজটির দুইটি কর্ণ। প্রমাণ করতে হবে যে, AC. BD = AB. CD + BC. AD.

অঙ্কন : ∠BAC কে ∠DAC থেকে ছোট ধরে নিয়ে A বিন্দুতে AD রেখার সাথে ∠BAC এর সমান করে ∠DAP আঁকি যেন AP রেখা BD কর্ণকে P বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ: অঙ্কন অনুসারে, ∠BAC =∠DAP

বা, ∠BAC + ∠CAP = ∠DAP +∠CAP [উভয়পক্ষে ∠CAP যোগ করে]

বা, ∠BAP = ∠CAD

এখন, $△$ABP ও $△$ACD এর মধ্যে

∠BAP = ∠CAD এবং ∠ABD = ∠ACD [একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান বলে]

এবং অবশিষ্ট ∠APB = অবশিষ্ট ∠ADC

△ABP ও △ACD সদৃশকোণী

$\therefore$ $\frac{BP}{CD}=\frac{AB}{AC}$

$\therefore$ AC . BP = AB . CD _______ (i)

আবার, △ABC ও △APD এর মধ্যে

∠BAC = ∠PAD [অঙ্কন অনুসারে]

∠ADP = ∠ACB [একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান বলে]

এবং অবশিষ্ট ∠ABC = অবশিষ্ট ∠APD

△ABC ও △APD সদৃশকোণী

$\therefore$ $\frac{AD}{AC}=\frac{PD}{BC}$

$\therefore$ AC. PD = BC. AD ________ (ii)

সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,

AC. BP + AC. PD = AB. CD + BC. AD

বা, AC (BP + PD) = AB. CD + BC. AD

বা, AC. BD = AB. CD + BC. AD  [BP + PD = BD]

$\therefore$ AC. BD = AB. CD + BC. AD. (প্রমাণিত)