একটি রেললাইনে 7.80 gm/cc ঘনত্ববিশিষ্ট 20m দৈর্ঘ্যের লোহার পাত ব্যবহার করা হয়েছে। গ্রীষ্মকালে তাপমাত্রা 10°C বেড়ে গেল। লোহার দৈর্ঘ্য প্রসারণ সহগ  $11.6\times {10}^{-6}{K}^{-1}$

সেলসিয়াস ও কেলভিন স্কেলে তাপমাত্রার সংখ্যাগত মান সাধারণত একই হয় না, কারণ এই দুটি স্কেলের শূন্যবিন্দু ভিন্ন ভিন্ন।

সেলসিয়াস স্কেলের ০°C (শূন্য ডিগ্রি সেলসিয়াস) হলো পানির হিমাঙ্ককে (যে তাপমাত্রায় পানি জমে বরফ হয়) নির্দেশ করে। অন্যদিকে, কেলভিন স্কেলের ০ K (শূন্য কেলভিন) হলো পরম শূন্য তাপমাত্রা, যা সম্ভাব্য সর্বনিম্ন তাপমাত্রা এবং প্রায় -২৭৩.১৫°C এর সমান। যদিও এক ডিগ্রি সেলসিয়াস তাপমাত্রা পরিবর্তন এক কেলভিন তাপমাত্রা পরিবর্তনের সমান, তবে রেফারেন্স পয়েন্ট বা শূন্যবিন্দু ভিন্ন হওয়ায় একই তাপমাত্রা প্রকাশ করার জন্য ভিন্ন ভিন্ন সংখ্যা ব্যবহার করা হয়। যেমন, ০°C তাপমাত্রা কেলভিন স্কেলে ২৭৩.১৫ K এর সমান।

কোনো বস্তুর তাপমাত্রা বৃদ্ধি করলে তার দৈর্ঘ্যের প্রসারণ ঘটে। এই দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি বস্তুর প্রাথমিক দৈর্ঘ্য, তাপমাত্রা বৃদ্ধি এবং বস্তুর উপাদানের দৈর্ঘ্য প্রসারণ সহগের গুণফলের সমান। গাণিতিকভাবে, দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি \(\Delta L = L_0 \alpha \Delta T\) সূত্র দ্বারা নির্ণয় করা যায়, যেখানে \(L_0\) প্রাথমিক দৈর্ঘ্য, \(\alpha\) দৈর্ঘ্য প্রসারণ সহগ এবং \(\Delta T\) তাপমাত্রা বৃদ্ধি।

উদ্দীপকে প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী, লোহার পাতের প্রাথমিক দৈর্ঘ্য, \(L_0 = 20 \text{ m}\)। গ্রীষ্মকালে তাপমাত্রা বৃদ্ধি পেয়েছে, \(\Delta T = 10^\circ \text{C}\) যা \(\Delta T = 10 \text{ K}\) এর সমান। লোহার দৈর্ঘ্য প্রসারণ সহগ, \(\alpha = 11.6 \times 10^{-6} \text{ K}^{-1}\)। এই মানগুলো ব্যবহার করে দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি নির্ণয় করা হলো:

প্রদত্ত মান,
প্রাথমিক দৈর্ঘ্য, \(L_0 = 20 \text{ m}\)
তাপমাত্রা বৃদ্ধি, \(\Delta T = 10^\circ \text{C} = 10 \text{ K}\)
দৈর্ঘ্য প্রসারণ সহগ, \(\alpha = 11.6 \times 10^{-6} \text{ K}^{-1}\)

আমরা জানি, দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি \(\Delta L = L_0 \alpha \Delta T\)
\(\Delta L = 20 \text{ m} \times (11.6 \times 10^{-6} \text{ K}^{-1}) \times 10 \text{ K}\)
\(\Delta L = 232 \times 10^{-5} \text{ m}\)
\(\Delta L = 0.00232 \text{ m}\)

অতএব, উদ্দীপক অনুসারে 20m দৈর্ঘ্যের লোহার পাতের তাপমাত্রা 10°C বৃদ্ধি পাওয়ায় এর দৈর্ঘ্য 0.00232 m বৃদ্ধি পাবে। রেললাইনে লোহার পাত ব্যবহারের ক্ষেত্রে এই দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি বিবেচনা করা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ, কারণ এটি পাতের মধ্যে অতিরিক্ত চাপ সৃষ্টি করে বিকৃতি ঘটাতে পারে, যা রেল দুর্ঘটনার কারণ হতে পারে।

উদ্দীপক অনুসারে তাপমাত্রা বৃদ্ধি পাওয়ায় লোহার ঘনত্ব পরিবর্তিত হবে। তাপমাত্রা বাড়লে লোহার ঘনত্ব কমে যাবে।

পদার্থবিজ্ঞানের সূত্রানুসারে, তাপমাত্রা বৃদ্ধি পেলে অধিকাংশ বস্তুরই তাপীয় প্রসারণ (Thermal Expansion) ঘটে। লোহাও এর ব্যতিক্রম নয়। যখন লোহার তাপমাত্রা বৃদ্ধি করা হয়, তখন এর অণুগুলির গতিশক্তি বৃদ্ধি পায় এবং তারা নিজেদের মধ্যেকার গড় দূরত্ব বাড়াতে শুরু করে, যার ফলে বস্তুটির আয়তন (Volume) বৃদ্ধি পায়।

ঘনত্বের সংজ্ঞা অনুযায়ী, ঘনত্ব (\(\rho\)) হলো কোনো বস্তুর ভর (Mass) ও তার আয়তনের (Volume) অনুপাত। অর্থাৎ, \(\rho = \frac{m}{V}\), যেখানে \(m\) হলো বস্তুর ভর এবং \(V\) হলো বস্তুর আয়তন।

তাপমাত্রা পরিবর্তনের কারণে লোহার ভরের কোনো পরিবর্তন হয় না; ভর ধ্রুবক থাকে। কিন্তু, তাপমাত্রা বৃদ্ধি পেলে লোহার আয়তন বৃদ্ধি পায়। যেহেতু ঘনত্ব আয়তনের ব্যস্তানুপাতিক (যখন ভর স্থির থাকে), তাই আয়তন বৃদ্ধি পেলে ঘনত্ব অবশ্যই কমে যাবে।

গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করলে:

ধরি, লোহার প্রাথমিক তাপমাত্রা \(T_0\) এবং প্রাথমিক আয়তন \(V_0\)।

প্রাথমিক ঘনত্ব, \(\rho_0 = \frac{m}{V_0}\)

যদি তাপমাত্রা \(\Delta T\) পরিমাণ বৃদ্ধি পেয়ে \(T = T_0 + \Delta T\) হয়, তবে লোহার আয়তন বৃদ্ধি পাবে। আয়তন প্রসারণের সূত্র অনুযায়ী, নতুন আয়তন \(V_T\) হবে:

\[V_T = V_0 (1 + \gamma \Delta T)\]

এখানে, \(\gamma\) হলো লোহার আয়তন প্রসারণ সহগ (Coefficient of Volume Expansion)। যেহেতু লোহার আয়তন প্রসারণ সহগের মান ধনাত্মক (\(\gamma > 0\)), এবং \(\Delta T > 0\), তাই \(1 + \gamma \Delta T > 1\) হবে। এর অর্থ হলো \(V_T > V_0\), অর্থাৎ আয়তন বৃদ্ধি পাবে।

নতুন তাপমাত্রায় লোহার ঘনত্ব, \(\rho_T\) হবে:

\[\rho_T = \frac{m}{V_T} = \frac{m}{V_0 (1 + \gamma \Delta T)}\]

আমরা জানি, \(\frac{m}{V_0} = \rho_0\), সুতরাং আমরা লিখতে পারি:

\[\rho_T = \frac{\rho_0}{1 + \gamma \Delta T}\]

যেহেতু \(1 + \gamma \Delta T > 1\) (তাপমাত্রা বৃদ্ধি পাওয়ায়), তাই \(\rho_T\) এর মান \(\rho_0\) এর চেয়ে কম হবে। অর্থাৎ, তাপমাত্রা বৃদ্ধি পেলে লোহার ঘনত্ব কমে যাবে।