একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি বাহুর দৈর্ঘ্য 2 একক করে বাড়ানো হলে তার ক্ষেত্রফল $3\sqrt{3}$ একক বেড়ে যায়।

সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য হলে ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ বর্ণ একক এবং সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a একক এবং ভূমি b একক হলে, ক্ষেত্রফল $=\frac{b}{4}\sqrt{4a^2-b^2}$ বর্গ একক।

মনে করি, ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার

শর্তমতে,

= $\frac{\sqrt{3}}{4}(a+2{)}^2-\frac{\sqrt{3}{a}^2}{4}=3\sqrt{3}$

বা, $\frac{\sqrt{3}}{4}(a^2+4a+4-a^2)=3\sqrt{3}$

বা, $(a^2+4a+4-a^2)=\frac{3\sqrt{3}\times 4}{\sqrt{3}}$

বা, 4a + 4 = 12

বা, a + 1 = 3

$\therefore$ a = 2

$\therefore$ ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার।

মনে করি, ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। এর অভ্যন্তরে O একটি বিন্দু। O বিন্দু হতে BC, AC ও AB বাহুর উপর যথাক্রমে, OD, OE এবং OF লম্ব আঁকি।

আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার হলে, ক্ষেত্রফল $\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^2$ বর্গমিটার,

দেওয়া আছে, OD = 6 মিটার, OE = 7 মি., OF = 8 মিটার.

আবার,

Δ-ক্ষেত্র ABC = Δ -ক্ষেত্র BOC+ ∆-ক্ষেত্র AOC + ∆-ক্ষেত্র AOB

△-ক্ষেত্র BOC = $\frac{1}{2}$ BC $\times$ OD

= $\frac{1}{2}\times a\times 6$

= 3a বর্গমিটার

△-ক্ষেত্র AOC = $\frac{1}{2} AC \times OE$

$=\frac{1}{2}\times a\times 7 =\frac{7a}{2}$ বর্গমিটার

△-ক্ষেত্র $AOB =\frac{1}{2} AB\times OF$

$= \frac{1}{2}\times a \times 8 = 4a$ বর্গমিটার

প্রশ্নমতে,

$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2-3a+\frac{7a}{2}+4a$

বা, $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=\frac{6a+7a+8a}{2}=\frac{21a}{2}$

বা, $\sqrt{3}{a}^2=42a$ [উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা গুণ করে]

বা, $\sqrt{3}{a}^2-42a=0$

বা, $a\left(\sqrt{3}a - 42 \right)= 0$

$\therefore$ a = 0

অথবা,

$\sqrt{3}a - 42 = 0$

বা, $\sqrt{3}a= 42$

বা, $a = \frac{42}{\sqrt{3}}= \frac{42\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{3}}=\frac{42\sqrt{3}}{3}= 14\sqrt{3}= 24.249$ মি. (প্রায়)

$\therefore$ বাহুর দৈর্ঘ্য 24.249 মিটার, (প্রায়)।

$\therefore$ ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$ বর্গমিটার

$=\frac{\sqrt{3}}{4} \times (24.249{)}^2$ বর্গমিটার

$=\frac{\sqrt{3}}{4} \times 588.014$ বর্গমিটার

= 254.618 বর্গমিটার (প্রায়)

$\therefore$ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 254.618 বর্গমিটার, (প্রায়)।