একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের উচ্চতা 7 সে.মি. এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 4 সে.মি. হলে কোণকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে,

প্রথম গোলকের ব্যাস, \(D_1 = 12\) সে.মি.

প্রথম গোলকের ব্যাসার্ধ, \(R_1 = \frac{12}{2} = 6\) সে.মি.

দ্বিতীয় গোলকের ব্যাস, \(D_2 = 16\) সে.মি.

দ্বিতীয় গোলকের ব্যাসার্ধ, \(R_2 = \frac{16}{2} = 8\) সে.মি.

তৃতীয় গোলকের ব্যাস, \(D_3 = r\) সে.মি.

তৃতীয় গোলকের ব্যাসার্ধ, \(R_3 = \frac{r}{2}\) সে.মি.

গলিয়ে তৈরি নতুন গোলকের ব্যাস, \(D_{নতুন} = 18\) সে.মি.

নতুন গোলকের ব্যাসার্ধ, \(R_{নতুন} = \frac{18}{2} = 9\) সে.মি.

প্রশ্নমতে, তিনটি গোলকের আয়তনের সমষ্টি নতুন গোলকের আয়তনের সমান হবে।

আমরা জানি, গোলকের আয়তন \(V = \frac{4}{3}\pi R^3\)।

\(V_1 + V_2 + V_3 = V_{নতুন}\)

\(\frac{4}{3}\pi R_1^3 + \frac{4}{3}\pi R_2^3 + \frac{4}{3}\pi R_3^3 = \frac{4}{3}\pi R_{নতুন}^3\)

উভয় পক্ষকে \(\frac{4}{3}\pi\) দ্বারা ভাগ করে,

\(R_1^3 + R_2^3 + R_3^3 = R_{নতুন}^3\)

\((6)^3 + (8)^3 + \left(\frac{r}{2}\right)^3 = (9)^3\)

\(216 + 512 + \frac{r^3}{8} = 729\)

\(728 + \frac{r^3}{8} = 729\)

\(\frac{r^3}{8} = 729 - 728\)

\(\frac{r^3}{8} = 1\)

\(r^3 = 8\)

\(r = \sqrt[3]{8}\)

\(r = 2\)

অতএব, r এর মান \(2\) সে.মি.।

একটি গোলক যখন একটি সিলিন্ডার আকৃতির বাক্সে ঠিকভাবে এঁটে যায়, তখন সিলিন্ডারের ব্যাস গোলকের ব্যাসের সমান হয় এবং সিলিন্ডারের উচ্চতা গোলকের ব্যাসের সমান হয়। বাক্সটির অনধিকৃত অংশের আয়তন নির্ণয়ের জন্য সিলিন্ডারের মোট আয়তন থেকে গোলকের আয়তন বিয়োগ করতে হবে। উদ্দীপক অনুযায়ী, তিনটি গোলক গলিয়ে 18 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট যে নতুন গোলকটি তৈরি করা হয়েছে, সেই গোলকটিই সিলিন্ডার আকৃতির বাক্সে ঠিকভাবে এঁটে যায়।

প্রথমে, 18 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট নতুন গোলকটির আয়তন নির্ণয় করা যাক। গোলকের ব্যাসার্ধ, \(R = \frac{18}{2} = 9\) সে.মি.।
গোলকের আয়তনের সূত্র অনুযায়ী, \(V_{গোলক} = \frac{4}{3} \pi R^3\)
সুতরাং, গোলকটির আয়তন, \(V_{গোলক} = \frac{4}{3} \times \pi \times (9)^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times 729 = 4 \times \pi \times 243 = 972 \pi\) ঘন সে.মি.।

এবার, সিলিন্ডার আকৃতির বাক্সটির আয়তন নির্ণয় করা যাক। যেহেতু গোলকটি বাক্সে ঠিকভাবে এঁটে যায়, তাই সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, \(r = R = 9\) সে.মি. এবং সিলিন্ডারের উচ্চতা, \(h = 2R = 18\) সে.মি.।
সিলিন্ডারের আয়তনের সূত্র অনুযায়ী, \(V_{সিলিন্ডার} = \pi r^2 h\)
সুতরাং, সিলিন্ডারটির আয়তন, \(V_{সিলিন্ডার} = \pi \times (9)^2 \times 18 = \pi \times 81 \times 18 = 1458 \pi\) ঘন সে.মি.।
অতএব, বাক্সটির অনধিকৃত অংশের আয়তন = \(V_{সিলিন্ডার} - V_{গোলক} = 1458 \pi - 972 \pi = 486 \pi\) ঘন সে.মি.। (প্রায় 1526.82 ঘন সে.মি. যদি \(\pi \approx 3.1416\) ধরা হয়)