12 সে.মি., 16 সে.মি. এবং r সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট তিনটি কঠিন লোহার গোলক গলিয়ে 18 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট একটি কঠিন গোলক তৈরি করা হলো যা একটি সিলিন্ডার আকৃতির বাক্সে ঠিকভাবে এঁটে যায়। 

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো,

\[y^{y\sqrt{y}} = (y\sqrt{y})^y\]

আমরা জানি, \(\sqrt{y} = y^{1/2}\) ।

অতএব, \(y\sqrt{y} = y \cdot y^{1/2} = y^{1 + 1/2} = y^{3/2}\)

এখন সমীকরণে \(y\sqrt{y}\) এর মান প্রতিস্থাপন করে পাই,

\[y^{y^{3/2}} = (y^{3/2})^y\]

সূচকের নিয়ম অনুযায়ী, \((a^m)^n = a^{mn}\) হয়।

সুতরাং, সমীকরণের ডানপক্ষ হবে: \((y^{3/2})^y = y^{(3/2) \cdot y}\)

তাহলে, সমীকরণটি দাঁড়ায়,

\[y^{y^{3/2}} = y^{(3/2)y}\]

যদি দুটি সূচকীয় রাশির ভিত্তি (base) সমান হয়, তবে তাদের সূচক (exponent) ও সমান হবে।

অর্থাৎ,

\[y^{3/2} = \frac{3}{2}y\]

এই সমীকরণটি সমাধান করার জন্য দুটি সম্ভাব্য ক্ষেত্র বিবেচনা করতে হবে:

ক্ষেত্র ১: যখন \(y=1\)

মূল সমীকরণে \(y=1\) বসিয়ে পরীক্ষা করি:

\[1^{1\sqrt{1}} = (1\sqrt{1})^1\]

\[1^1 = 1^1\]

\[1 = 1\]

যেহেতু উভয়পক্ষ সমান, সুতরাং \(y=1\) একটি সমাধান।

ক্ষেত্র ২: যখন \(y \neq 0\) এবং \(y \neq 1\)

\[y^{3/2} = \frac{3}{2}y\]

উভয়পক্ষকে \(y\) দ্বারা ভাগ করে পাই (যেহেতু \(y \neq 0\)):

\[\frac{y^{3/2}}{y} = \frac{3}{2}\]

\[y^{(3/2) - 1} = \frac{3}{2}\]

\[y^{1/2} = \frac{3}{2}\]

\[\sqrt{y} = \frac{3}{2}\]

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই:

\[(\sqrt{y})^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2\]

\[y = \frac{9}{4}\]

সুতরাং, \(y = \frac{9}{4}\) ও একটি সমাধান।

অতএব, \(y\) এর সম্ভাব্য মানসমূহ হলো \(1\) এবং \(\frac{9}{4}\)।

দেওয়া আছে,

\( p-1 = \log_a(bc) \)

\( q-1 = \log_b(ca) \)

\( r-1 = \log_c(ab) \)

প্রথম সমীকরণ থেকে পাই,

\( p = 1 + \log_a(bc) \)

\( p = \log_a(a) + \log_a(bc) \)

\( p = \log_a(abc) \)

লগারিদমের ভিত্তি পরিবর্তনের সূত্র অনুযায়ী, \( \frac{1}{\log_x(y)} = \log_y(x) \)।

সুতরাং, \( \frac{1}{p} = \frac{1}{\log_a(abc)} \)

\( \frac{1}{p} = \log_{abc}(a) \)...(i)

দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে পাই,

\( q = 1 + \log_b(ca) \)

\( q = \log_b(b) + \log_b(ca) \)

\( q = \log_b(abc) \)

সুতরাং, \( \frac{1}{q} = \frac{1}{\log_b(abc)} \)

\( \frac{1}{q} = \log_{abc}(b) \)...(ii)

তৃতীয় সমীকরণ থেকে পাই,

\( r = 1 + \log_c(ab) \)

\( r = \log_c(c) + \log_c(ab) \)

\( r = \log_c(abc) \)

সুতরাং, \( \frac{1}{r} = \frac{1}{\log_c(abc)} \)

\( \frac{1}{r} = \log_{abc}(c) \)...(iii)

এখন, (i), (ii) ও (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

\( \frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} = \log_{abc}(a) + \log_{abc}(b) + \log_{abc}(c) \)

লগারিদমের যোগফলের সূত্র অনুযায়ী, \( \log_x(y) + \log_x(z) = \log_x(yz) \)

\( \frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} = \log_{abc}(abc) \)

যেহেতু, \( \log_x(x) = 1 \)

\( \frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} = 1 \)...(iv)

আমরা প্রমাণ করব যে, \( pq + qr + rp - pqr = 0 \)

সমীকরণটির উভয় পক্ষকে \( pqr \) দ্বারা ভাগ করে পাই,

\( \frac{pq + qr + rp - pqr}{pqr} = \frac{0}{pqr} \)

\( \frac{pq}{pqr} + \frac{qr}{pqr} + \frac{rp}{pqr} - \frac{pqr}{pqr} = 0 \)

\( \frac{1}{r} + \frac{1}{p} + \frac{1}{q} - 1 = 0 \)

\( \frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} - 1 = 0 \)

সমীকরণ (iv) থেকে আমরা জানি, \( \frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} = 1 \)

সুতরাং, \( 1 - 1 = 0 \)

\( 0 = 0 \)

বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

প্রদত্ত ফাংশনটি হলো: \(g(x) = \ln(y)\)

এখানে, \(g(x)\) এর রেঞ্জ (Range) নির্ণয় করতে বলা হয়েছে। ফাংশনটির মান \(y\) এর উপর নির্ভরশীল।

প্রাকৃতিক লগারিদম ফাংশন (\(\ln\)) এর সংজ্ঞা অনুযায়ী, এর ভেতরের পদ বা আর্গুমেন্ট (argument) সর্বদা ধনাত্মক হতে হবে।

অর্থাৎ, \(y > 0\) হতে হবে।

যখন \(y > 0\) হয়, তখন \(\ln(y)\) এর মান -\(\infty\) (মাইনাস ইনফিনিটি) থেকে +\(\infty\) (প্লাস ইনফিনিটি) পর্যন্ত যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে।

উদাহরণস্বরূপ:
\(y\) যখন 0 এর খুব কাছাকাছি ধনাত্মক মান গ্রহণ করে (\(y \to 0^+\)), তখন \(\ln(y) \to -\infty\).
\(y = 1\) হলে, \(\ln(y) = \ln(1) = 0\).
\(y\) যখন অসীমের দিকে যায় (\(y \to +\infty\)), তখন \(\ln(y) \to +\infty\).

সুতরাং, ফাংশন \(g(x) = \ln(y)\) এর রেঞ্জ হলো সকল বাস্তব সংখ্যার সেট।

রেঞ্জটিকে অন্তরক ব্যবধি (interval notation) আকারে প্রকাশ করলে হয়: \( (-\infty, +\infty) \).

\( 1 - 15x + 90x^2 - 270x^3 + 405x^4 - 243x^5 \)

ধারাটির n-তম পদ,

\(U_n = (2p+1)^{n-2}\)

ধারাটির পদগুলো হলো:

\(U_1 = (2p+1)^{1-2} = (2p+1)^{-1} = \frac{1}{2p+1}\)

\(U_2 = (2p+1)^{2-2} = (2p+1)^0 = 1\)

\(U_3 = (2p+1)^{3-2} = (2p+1)^1 = 2p+1\)

এক্ষেত্রে, প্রথম পদ \(a = \frac{1}{2p+1}\) এবং সাধারণ অনুপাত \(r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{1}{\frac{1}{2p+1}} = 2p+1\)। এটি একটি গুণোত্তর ধারা।

গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি (infinite sum) থাকার শর্ত হলো \(|r| < 1\)।

অতএব, \(|2p+1| < 1\)

বা, \(-1 < 2p+1 < 1\)

প্রথমে, প্রতিটি অংশ থেকে \(1\) বিয়োগ করি:

\(-1 - 1 < 2p < 1 - 1\)

বা, \(-2 < 2p < 0\)

এরপর, প্রতিটি অংশকে \(2\) দ্বারা ভাগ করি:

\(\frac{-2}{2} < \frac{2p}{2} < \frac{0}{2}\)

বা, \(-1 < p < 0\)

সুতরাং, \(p\) এর উপর শর্ত হলো \(-1 < p < 0\)।

অসীমতক সমষ্টি \(S_\infty = \frac{a}{1-r}\)

এখানে, \(a = \frac{1}{2p+1}\) এবং \(r = 2p+1\)

\(S_\infty = \frac{\frac{1}{2p+1}}{1 - (2p+1)}\)

\(S_\infty = \frac{\frac{1}{2p+1}}{1 - 2p - 1}\)

\(S_\infty = \frac{\frac{1}{2p+1}}{-2p}\)

\(S_\infty = \frac{1}{-2p(2p+1)}\)

সুতরাং, ধারাটির অসীমতক সমষ্টি হলো \(\frac{1}{-2p(2p+1)}\)।

আমরা জানি, দ্বিপদী উপপাদ্য অনুযায়ী \((a+b)^n\) এর বিস্তৃতিতে \((r+1)\) তম পদটি হলো \(T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r\)। এই সূত্র ব্যবহার করে একটি নির্দিষ্ট পদের সহগ নির্ণয় করা যায়, যেখানে n হলো সূচক, r হলো পদের ক্রম (সূচক থেকে 1 কম), a হলো প্রথম পদ এবং b হলো দ্বিতীয় পদ।

উদ্দীপকে প্রদত্ত দ্বিপদী রাশিটি হলো \(A=\left(x^2+\frac{k}{x}\right)^8\)। এখানে, \(a = x^2\), \(b = \frac{k}{x}\) এবং \(n=8\)। সুতরাং, এর বিস্তৃতির সাধারণ পদ বা \((r+1)\) তম পদটি হবে:

\(T_{r+1} = \binom{8}{r} (x^2)^{8-r} \left(\frac{k}{x}\right)^r\)
\(T_{r+1} = \binom{8}{r} x^{2(8-r)} k^r x^{-r}\)
\(T_{r+1} = \binom{8}{r} k^r x^{16-2r-r}\)
\(T_{r+1} = \binom{8}{r} k^r x^{16-3r}\)

আমরা \(x^4\) এর সহগ নির্ণয় করতে চাই। তাই, \(x\) এর ঘাতকে 4 এর সমান ধরে \(r\) এর মান বের করতে হবে:

\(16 - 3r = 4\)
\(3r = 16 - 4\)
\(3r = 12\)
\(r = 4\)

এখন, \(r=4\) বসিয়ে \(x^4\) এর সহগ নির্ণয় করি:

\(x^4\) এর সহগ \(= \binom{8}{4} k^4\)
আমরা জানি, \(\binom{8}{4} = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70\)

অতএব, \(x^4\) এর সহগ হলো \(70k^4\)।
প্রশ্নমতে, \(x^4\) এর সহগ 43750।
\(\therefore 70k^4 = 43750\)
\(k^4 = \frac{43750}{70}\)
\(k^4 = 625\)
\(k = \pm \sqrt[4]{625}\)
\(k = \pm 5\)

সুতরাং, k এর মান হলো \(\pm 5\)।