উত্তরঃ
উদ্দীপকে উল্লিখিত মোটর দ্বারা চালিত খেলনা গাড়ির কর্মদক্ষতা উভয় ক্ষেত্রে একই থাকবে কিনা, তা গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করতে হবে। কর্মদক্ষতা হলো কোনো যন্ত্র বা ব্যবস্থার লভ্য কার্যকর শক্তি বা ক্ষমতা এবং মোট প্রদত্ত শক্তি বা ক্ষমতার অনুপাতকে শতকরায় প্রকাশ করা। উভয় ক্ষেত্রে মোট প্রদত্ত শক্তি 5 J এবং গাড়ির ভর 250 g।
প্রথম ক্ষেত্রে কর্মদক্ষতা নির্ণয়:
এখানে, মোটরের প্রদত্ত শক্তি, \(E_{\text{in}} = 5 \text{ J}\)
খেলনা গাড়ির ভর, \(m = 250 \text{ g} = 0.25 \text{ kg}\)
গাড়ির সুষম বেগ, \(v = 4 \text{ ms}^{-1}\)
এই ক্ষেত্রে, মোটর দ্বারা সম্পন্ন কার্যকর কাজ বা লভ্য শক্তি হলো গাড়ির গতিশক্তি।
লভ্য শক্তি, \(W_{\text{out1}} = \frac{1}{2}mv^2\)
\(W_{\text{out1}} = \frac{1}{2} \times 0.25 \text{ kg} \times (4 \text{ ms}^{-1})^2\)
\(W_{\text{out1}} = \frac{1}{2} \times 0.25 \times 16 \text{ J}\)
\(W_{\text{out1}} = 2 \text{ J}\)
সুতরাং, প্রথম ক্ষেত্রে কর্মদক্ষতা, \(\eta_1 = \frac{W_{\text{out1}}}{E_{\text{in}}} \times 100\%\)
\(\eta_1 = \frac{2 \text{ J}}{5 \text{ J}} \times 100\%\)
\(\eta_1 = 40\%\)
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে কর্মদক্ষতা নির্ণয়:
এখানে, মোটরের প্রদত্ত শক্তি, \(E_{\text{in}} = 5 \text{ J}\)
খেলনা গাড়ির ভর, \(m = 250 \text{ g} = 0.25 \text{ kg}\)
গাড়িটি স্থির অবস্থান হতে যাত্রা শুরু করে, তাই আদি বেগ, \(u = 0 \text{ ms}^{-1}\)
সুষম ত্বরণ, \(a = 1 \text{ ms}^{-2}\)
অতিক্রান্ত দূরত্ব, \(s = 8 \text{ m}\)
প্রথমে, অতিক্রান্ত 8m দূরত্বে গাড়ির শেষ বেগ \(v_{\text{f}}\) নির্ণয় করি:
আমরা জানি, \(v_{\text{f}}^2 = u^2 + 2as\)
\(v_{\text{f}}^2 = (0 \text{ ms}^{-1})^2 + 2 \times 1 \text{ ms}^{-2} \times 8 \text{ m}\)
\(v_{\text{f}}^2 = 16 \text{ m}^2\text{s}^{-2}\)
\(v_{\text{f}} = \sqrt{16} \text{ ms}^{-1} = 4 \text{ ms}^{-1}\)
এই ক্ষেত্রে, মোটর দ্বারা সম্পন্ন কার্যকর কাজ বা লভ্য শক্তি হলো গাড়ির গতিশক্তির পরিবর্তন। যেহেতু আদি বেগ শূন্য ছিল, লভ্য শক্তি হবে শেষ গতিশক্তির সমান।
লভ্য শক্তি, \(W_{\text{out2}} = \frac{1}{2}mv_{\text{f}}^2 - \frac{1}{2}mu^2\)
\(W_{\text{out2}} = \frac{1}{2} \times 0.25 \text{ kg} \times (4 \text{ ms}^{-1})^2 - 0\)
\(W_{\text{out2}} = \frac{1}{2} \times 0.25 \times 16 \text{ J}\)
\(W_{\text{out2}} = 2 \text{ J}\)
সুতরাং, দ্বিতীয় ক্ষেত্রে কর্মদক্ষতা, \(\eta_2 = \frac{W_{\text{out2}}}{E_{\text{in}}} \times 100\%\)
\(\eta_2 = \frac{2 \text{ J}}{5 \text{ J}} \times 100\%\)
\(\eta_2 = 40\%\)
গাণিতিক যুক্তি ও বিশ্লেষণ:
উপরিউক্ত গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, প্রথম ক্ষেত্রে খেলনা গাড়িটির কর্মদক্ষতা \(\eta_1 = 40\%\) এবং দ্বিতীয় ক্ষেত্রেও কর্মদক্ষতা \(\eta_2 = 40\%\)। উভয় ক্ষেত্রে মোটরের প্রদত্ত শক্তি (5 J) এবং তার সাপেক্ষে লভ্য কার্যকর শক্তি (2 J) একই হওয়ায়, গাড়িটির কর্মদক্ষতার কোনো পরিবর্তন হয়নি। এর কারণ হলো, প্রথম ক্ষেত্রে সুষম বেগে চলার জন্য প্রয়োজনীয় শক্তি এবং দ্বিতীয় ক্ষেত্রে স্থির অবস্থা থেকে নির্দিষ্ট ত্বরণে একটি নির্দিষ্ট দূরত্ব অতিক্রম করার পর অর্জিত গতিশক্তির পরিমাণ একই (2 J)। যেহেতু মোটরের কর্মদক্ষতা প্রদত্ত শক্তি এবং লভ্য কার্যকর শক্তির অনুপাতের উপর নির্ভর করে এবং উভয় ক্ষেত্রেই এই অনুপাত সমান, তাই কর্মদক্ষতার কোনো পরিবর্তন হয়নি।
